1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量基本定理及其意义(重点)2了解向量基底的含义在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量(难点)1.通过作图引导学生得出平面向量基本定理，培养直观想象素养2通过基底的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养.一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30方向的小猴子同时发现一筐桃子，他们分别朝着自己住的方向拉，已知每只大猴子的拉力是100牛顿，每只小猴子的拉力是50牛顿问题：你认为这筐桃子往哪边运动？1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任
2、一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e22.基底若e1，e2不共线，把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？提示不能基向量是不共线的，而0与任意向量都共线拓展：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底(2)基底e1，e2确定后，实数1，2是唯一确定的1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底()(2)基底中的向量可以是零向量()(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的()(4)e1，e2是平面内两个不
3、共线向量，若存在实数，使得e1e20，则0.()答案(1)(2)(3)(4)2设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()Ae1，e2Be1e2，3e13e2Ce1，5e2De1，e1e2答案B3(一题两空)若a，b不共线，且lamb0(l，mR)，则l_，m_.答案004若AD是ABC的中线，已知a，b，若a，b为基底，则_.答案(ab)对基底的理解【例1】(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A与B与C与 D与AC选项A，与不共线；选项B，则与共线；选项C，与不共线；选项D，则与共线由平面
4、向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故选项AC满足题意对基底的理解两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底跟进训练若向量a，b不共线，则c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底解设存在实数，使cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0，由于向量a，b不共线，所以23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.用基底表示向量【例2】(1)(多选题)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且a，b，则下列结论正确的是()Aab BabCab Da(2)如图所示，ABCD中，点E，F
5、分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用a，b表示向量，.思路探究用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则(1)ABC如图，bba，A正确；ab，B正确；ba，b(ba)ba，C正确；a，D不正确(2)解ab.ba.1若本例(2)中条件不变，试用a，b表示.解由平面几何的知识可知，故aabaab.2若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若a，b，试用a，b表示向量，.解222ba.222ab.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：平面向量基本
6、定理的唯一性及其应用探究问题若存在实数1，2，1，2及不共线的向量e1，e2，使向量a1e12e2，a1e12e2，则1，2，1，2有怎样的大小关系？提示由题意1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共线，故11，22.【例3】如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求.思路探究可利用t及s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得.解A()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1
7、将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BPPN的值解ab，()ab.因为B，P，N和O，P，M分别共线，所以存在实数，使ab，ab，所以ab，又b，所以解得所以，即BPPN41.2将本例中点M，N的位置改为“，N为OA的中点”，其他条件不变，试用a，b表示.解ba，ab.因为A，P，M三点共线，所以存在实数使得ba，所以(1)ab.因为B，P，N三点共线，所以存在实数使得ab，所以a(1)b.即解得所以ab.1任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线
8、向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解一、知识必备1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理平面向量基本定理
9、的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的二、方法必备1已知e1，e2是不共线的向量，作1e12e2(1，2R)的方法：(1)利用三角形法则(2)利用平行四边形法则进行转化2已知基底a，b，用a，b表示向量c的方法：(1)线性运算法：利用三角形法则或平行四边形法则进行转化(2)向量方程(组)法：设cxayb，x，yR，用待定系数法求出x，y.1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A，B，C，D，D由于，不共线，所以是一组基底2设D为ABC所在平面内一点，3，则()A BC DA().故选A3.如图，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()A(5e13e2)B(5e13e2)C(3e25e1)D(5e23e1)A()()(5e13e2)4已知非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则x，y满足的关系是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20A由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy2.5(一题两空)如图，在平行四边形ABCD中，设a，b，用基底a，b表示，则_，_.abab法一：设AC，BD交于点O(图略)，则有a，b.所以ab，ab.法二：设x，y，则y，又所以解得xab，yab，即ab，ab.
