1、课时作业(四十五)第45讲直线与圆的综合问题时间：45分钟分值：100分1圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点的个数为_2已知圆的方程为x2y26x8y0，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为_3圆(x1)2y24上的动点P到直线xy70的距离的最小值等于_4若直线yxb与曲线x恰有一个交点，则实数b的取值范围是_5已知直线x3y70，kxy20和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k_.6过点(1,1)的直线与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_7已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称
2、直线3x4y110与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_82011扬州模拟 若直线axby1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_92011苏锡常镇二调 如果圆(x2a)2(ya3)24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_102012连云港模拟 直线1经过点M(cos，sin)，则的最小值为_图K45111如图K451，A，B是直线l上的两点，且AB2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是_图K452122011无锡模拟 设圆x2y21的一条切
3、线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为_13(8分)已知圆x2y28x6y210与直线ymx交于P，Q两点，O为坐标原点，求的值14(8分)2011泰州中学模拟 已知圆C：x2y29，点A(5,0)，直线l：x2y0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标15(12分)2011泰州兴化模拟 如图K453，在四边形ABCO中，2，其中O为坐标原点，A(4,0)，C(0,2)若M是线段OA上的一个动点(不含端点)，设点M的坐标为(a,0)，记A
4、BM的外接圆为P.(1)求P的方程；(2)过点C作P的切线CT(T为切点)，求CT的取值范围图K45316(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标图K454课时作业(四十五)【基础热身】12解析 圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3)，半径为3，设圆心O1到
5、直线3x4y110的距离为d，则d，23，所以在圆心O1的同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线有一条，且与圆相交，故满足条件的点共有2个20解析 过圆中一点的最长弦为连接圆心和该点的直径，最短弦为过该点且与直径垂直的弦，故直线AB与CD的斜率之和为0.342解析 圆心为(1,0)，圆心到直线xy70的距离为4.所以圆上动点P到直线xy70的最小距离为42.41b1，b解析 利用数形结合的方法，曲线x表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线yxb表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b1时有两个交点及b时直线与圆相切，所以实数b的取值范围是1b1，b.【能力提升】53解析 如图
6、所示设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且AOC90，故ABC90.两条直线x3y70，kxy20互相垂直，k1，即k3.64解析 弦心距最大为，|AB|的最小值为24.7x2(y1)218解析 由题易求得圆心的坐标为(0，1)，所以r23218，所以圆的方程为x2(y1)218.8解析 方法一：依题意由直线axby1过点A(b，a)，2ab1ab，从而以OA2a2b22ab1，从而SOA2.当且仅当ab时，取到面积的最小值.方法二：由题意可知2ab1，a2b21，rmin1，此时圆的面积为.9a0解析 动点到原点距离为1，故动点轨迹方程为x2y21，由题意得两个圆总相交即13，所以1
7、5a26a99，解得a0.101解析 方法 一：点M显然在圆x2y21上，由题意知直线1与圆x2y21有交点，则1，1.方法二：设向量m(cos，sin)，n，由题意知1.由mn可得1，故1.11.解析 如图，当O1与O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，Smax2122，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d0时，S0，S.122解析 设切点为D，OAB，则连接OD知ODAB，从而得到AD，BD，所以线段AB，则线段AB长度的最小值为2.13解答 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则|x1|，|x2|.P，Q为直线与
8、圆的交点，由得(1m2)x2(86m)x210，x1x2，原点在圆外，|cos|(1m2)|x1x2|(1m2)21.14解答 (1)设所求直线方程为y2xb，即2xyb0，直线与圆C相切，3，得b3，所求直线方程为y2x3.(2)解法一：假设存在这样的点B(t,0)，当P为圆C与x轴左交点(3,0)时，；当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，依题意，解得t5(舍去)，或t.下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2，从而为常数解法二：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数，则PB22PA2，(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入得，x22xtt29x2
9、2(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3,3恒成立，解得或(舍去)，所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.15解答 (1)解法一(用圆的标准方程)：由已知B(2,2)，所以AB中点坐标为(3,1)，kAB1，所以AB中垂线方程为y1x3yx2.而AM的中垂线方程为x，由此得P的圆心坐标为P，半径r.所以ABM的外接圆P的方程为2222，即x2y2(a4)xay4a0.解法二(用圆的一般方程)：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，因为点A，B，M在所求圆上，故有故所求圆的方程是x2y2(a4)xay4a0.(2)切线长CT.因为M在线段OA上(不含端点)，所以0a
10、4.故CT的取值范围是(2,2)16解答 (1)由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.由题可知圆心C1到直线l的距离d1，结合点到直线的距离公式，得1，化简得24k27k0，k0，或k.求得直线l的方程为：y0或y(x4)，即y0或7x24y280.(2)由题知直线l1的斜率存在，且不为0，设点P的坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为ynk(xm)，yn(xm)，即直线l1：kxynkm0，直线l2：xyn0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等由垂径定理，知圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等故有，化简得(2mn)kmn3，或(mn8)kmn5.因为关于k的方程有无穷多解，所以有或解之得点P的坐标为或.点评 本题中无穷多解的问题即定值问题，可以通过建立d1d2方程后转化为方程恒有解来处理一般地对于方程axb0，若ab0，则方程恒有解
