1、41平面向量的坐标表示42平面向量线性运算的坐标表示 明目标、知重点1.掌握平面向量的坐标表示.2.掌握两个平面向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来1平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得axiyj，则有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，a(x，y)叫作向量a的坐标表示(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则(x，y)；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)2平面向
2、量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若a(x，y)，R，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标情境导学我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一平面向量的坐标表示思考1如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，POA30，且|a|4，
3、以向量i、j为基底，向量a如何表示？答a2i2j.思考2阅读教材86页上半页，说出向量a的坐标如何表示？答在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.我们把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标显然有i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)思考3在平面直角坐标系中，作向量a，若(x，y)，此时点A的坐标是什么？答A(x，y)思考4根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答a(2,3)，b
4、(2,3)，c(3，2)，d(3，3)探究点二平面向量的坐标运算思考1设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？答ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.思考2根据向量的坐标表示，向量ab，ab，a的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算. 答ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1)两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标
5、等于用这个实数乘原来向量的相应坐标思考3已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？答(x2x1，y2y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标思考4点的坐标与向量的坐标有何区别？答(1)向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)例1已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab,3a4b的坐标解ab(2
6、,1)(3,4)(1,5)，ab(2,1)(3,4)(5, 3)，3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19). 反思与感悟(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算跟踪训练1已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).例2已知a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，试用a，b表示c.解设cxayb，则(10
7、，4)x(2,3)y(3,1)(2x3y,3xy)，解得x2，y2，c2a2b.反思与感悟待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法跟踪训练2已知a(10，5)，b(3,2)，c(2,2)，试用b，c表示a.解设abc (，R)则(10，5)(3,2)(2,2)(3，2)(2，2)(32，22)解得abc.例3已知A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，若23，求点M的坐标解由A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，得(23，44)(1，8)，(13,34)(4，1)，232(1，8)3(4，1)(2，1
8、6)(12，3)(14，19)设点M的坐标为(x，y)，则(x3，y4)由向量相等坐标相同可得解得点M的坐标为(11，15)反思与感悟向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题跟踪训练3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，2)，求第四个顶点的坐标解不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，第四个顶点为D(x，y)则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形(1)当平行四边形为ABCD时，(4,6)(3,7)(1，2)(x，y)，D(0，1)(2)当
9、平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，3)(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，1)，(2，3)或(6,15)1已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于()A(2,1) B(2，1)C(2,0) D(4,3)答案B解析ba(3,1)(1,2)(2，1)，故选B.2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C(8,1) D(8,1)答案A解析(8,1)，.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)答案A解析设D点坐标为
10、(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2得D(2，)4已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.答案7解析由解得故mn7.呈重点、现规律1在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示：2向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同3向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误一、基础过关1给出下面几种说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量
11、一一对应其中正确说法的个数是()A1 B2C3 D4答案C解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误2已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab等于()A(5,7) B(5,9)C(3,7) D(3,9)答案A解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)3已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2答案D解析由解得4已知M(3，2)，N(5，1)且，则点P的坐标为()A(8,1) B.C. D(8，1)答案C解析设P(x，y)，由(x3，y2)(8,1)，x1，y.5已知平面上三点A(2，4)，
12、B(0,6)，C(8,10)，则的坐标是_答案(3,6)6已知A(1，2)，B(2,3)，C(2,0)，D(x，y)，且2，则xy_.答案解析(2,0)(1，2)(1,2)，(x，y)(2,3)(x2，y3)，又2，即(2x4,2y6)(1,2)，解得xy.7已知a(2,1)，b(1,3)，c(1,2)，求p2a3bc，并用基底a、b表示p.解p2a3bc2(2,1)3(1,3)(1,2)(4,2)(3,9)(1,2)(2,13)设pxayb，则有解得pab.二、能力提升8在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线若(2,4)，(1,3)，则等于()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2
13、,4)答案B解析，(1，1)，(3，5)9向量(7，5)，将按向量a(3,6)平移后得向量，则的坐标形式为()A(10,1) B(4，11)C(7，5) D(3,6)答案C解析与方向相同且长度相等，故(7，5)10已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量为()A. B.C. D.答案A解析AOO(4，1)(1,3)(3，4)，与A同方向的单位向量为.11.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，(3,7)，(2,1)求的坐标解(2,1)(3,7)(5，6)，(5，6).12已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若(R)(1)试求为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？(2)试求为何值时，点P在第三象限内？解，(5,4)(5,7)(55，47)(1)由5547，解得，当时，点P在第一、三象限的角平分线上(2)由解得1.当1时，点P在第三象限内三、探究与拓展13在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，分别求它们的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452；b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203；c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)
