1、1/36学科网（北京）股份有限公司立几截面问题的十大热门题型【题型一】做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=AA1=2,AD=3,点 E、F 分别是 AB、AA1 的中点，点 E、F、C1平面，直线 A1D1 平面=P，则直线 BP 与直线 CD1 所成角的余弦值是3378 A 2 2 C B3 D399、答案：B解析：如图，计算可得余弦值是 2 23【提分秘籍】基本规律截面训练基础：模型：如下图 E、F 是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点方法：两点成线相交法或者平行法特征：1、三点中，有两点连线在表面
2、上。本题如下图是 EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格 C1 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。2/36学科网（北京）股份有限公司方法一：相交法，做法如图方法二：平行线法。做法如图【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCDA B C D中，M、N、P 分别是棱11C D、1AA、BC 的中点，则经过 M、N、P 的平面与正方体1111ABCDA B C D相交形成的截面是一个（）A三角形 B平面四边形 C平面五边形D平面六边形【答案】D【分析】3/36学科网（北京）股份有限公司分别取11A D、AB、1C C 的中点、FHE
3、，连接 MF、FN、NH、HP、PE、EM、11AC、AC、NE、1A B，先证明、HPMF 四点共面，再证明 N 平面 HPMF，P平面 HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D、AB、1C C 的中点、FHE，连接 MF、FN、NH、HP、PE、EM、11AC、AC、NE、1A B，且 M、N、P 分别是棱11C D、1AA、BC 的中点，所以11/ACFM、/HP AC，且11/ACAC，所以/HP FM，即、HPMF 四点共面，因为11/=，F BPF BPAA，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1/A B FP，又因为1/A B NH，得/NH FP，且 FP 平面
4、 HPMF，H 平面 HPMF，所以 NH 平面 HPMF，得 N 平面 HPMF，因为11/=，MHMCBCBH，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1/C B MH，又因为1/C B EP，得/MH EP，又 MH 平面 HPMF，P平面 HPMF，所以 PE 平面 HPMF，得 E平面 HPMF，所以、HPEMFN 六点共面，平面六边形 HPEMFN 即为经过 M、N、P 与正方体1111ABCDA B C D相交形成的截面，故选：D.2.如图，在正方体1111ABCDA B C D中，E 是棱1CC 的中点，则过三点 A、D1、E 的截面过（）AAB 中点 BBC 中点 CCD
5、中点 DBB1 中点【答案】B【分析】4/36学科网（北京）股份有限公司根据截面特点结合正方形结构性质求解.【详解】取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，如图，则1EFAD，所以 F 在截面上,故选：B3.如图正方体1111ABCDA B C D，棱长为 1，P 为 BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过 APQ 的平面截该正方体所得的截面记为.若1CQCC，则下列结论错误的是（）A当102,时，为四边形B当12 时，为等腰梯形C当3,14时，为六边形D当1 时，的面积为62【答案】C【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.【详解】解：当102时，如下图 1，是四边
6、形，故 A 正确；当12 时，如下图 2，为等腰梯形，B 正确：当 314 时，如下图 3，是五边形，C 错误；当1 时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点 F，连接 AF，如下图 4，由正方体的性质易得1/BMPCAF，且1PCAF，截面 为1APC F 为菱形，其面积为11622ACPF，D 正确.故选：C5/36学科网（北京）股份有限公司【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意
7、可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项 B 正确【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是故选：B【提分秘籍】基本规律 6/36学科网（北京）股份有限公司一些容易出错误的地方1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。2.不会与同一个表面有两条交线。3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系【变式演练】1.如图，正四棱锥 PABCD的高为 12，6 2AB，E，F 分别为
8、 PA，PC 的中点，过点 B，E，F 的截面交 PD于点 M，截面 EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定 BD 为主视图方向，则几何体CDABFME的俯视图为（）ABCD【答案】C【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知 M 点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面 DPB，设 AC 与 BD 的交点为 O，BM 与 EF 交点为 N,E F 为,PA PC的中点，N为 PO 的中点，12PO，6ONOB，又因为12tan26POPDBOD,过点 M 作 MGDB，设GBx，45NBO，GBMGx，又12DB，12DGx，7/36学科网（北京）股份有限公司tan21
9、2xPDBx,8xGB,DG为 4 个格，GB 为 8 个格，故选：C2.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）A直角三角形B直角梯形C正五边形D正六边形【答案】ABC【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC3.在正方体1AC 中，M 为 AB 中点，N 为 BC 中点，P 为
10、线段1CC 上一动点（不含 C）过 M、N、P 与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有_当 P 为1CC 中点时，截面 为六边形；当112CPCC 时，截面 为五边形；当截面 为四边形时，它一定是等腰梯形；【答案】.【分析】延长 MN 交 AD 于 M，交CD 于 N，延长 N P 交11C D 于T，取11A D 的中点S，连接 M S 交1AA 于 P，连接11,AC AC，结合图形即可判断；8/36学科网（北京）股份有限公司延长 MN 交 AD 于 M，交CD 于 N，连接1N D交1CC 于 P，连接1M D交1AA 于 P，此时截面 为五边形，求出1CPCC 即可判
11、断；当截面 为四边形时，点 P 与点1C 重合，判断四边形11A MNC 的形状即可.【详解】解：如图，延长 MN 交 AD 于 M，交CD于 N，延长 N P 交11C D 于T，取11A D 的中点S，连接M S 交1AA于 P，连接11,AC AC，因为 M 为 AB 中点，N 为 BC 中点，所以 MNAC，同理11STAC，又因11ACAC，所以 STMN，同理,SPPN MPPT ，所以,S T P N M P 共面，此时六边形 STPNMP为截面，所以截面 为六边形；故正确；如图，延长 MN 交 AD 于 M，交CD 于 N，连接1N D交1CC 于 P，连接1M D交1AA 于
12、 P，此时截面 为五边形因为11CDC D，所以11CPNC PD，所以11112CPCNC PC D，即113CPCC，所以当113CPCC 时，截面 为五边形；故错误；当截面 为四边形时，点 P 与点1C 重合，如图，由得，11MNAC，所以四边形11A MNC 即为截面，设正方体的棱长为 1，则152NC，152MA，所以11NCMA，所以四边形11A MNC 是等腰梯形；故正确.故答案为：.9/36学科网（北京）股份有限公司【题型三】平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥 ABCD中，ABCDa，截面 MNPQ与 AB，CD 都平行，则截面MNPQ的周长等于（）A 2aB 4aC aD无
13、法确定【答案】A【分析】由线面平行的性质定理确定截面MNPQ的形状，再利用三角形相似的性质求截面MNPQ的周长.【详解】设 AMkCM，因为/AB 平面 MNPQ，平面 ABC平面 MNPQMN，AB平面 ABC，所以/MN AB，同理可得/PQ AB，/MQ CD，/NP CD，故四边形MNPQ为平行四边形，所以11MNPQABABk，1MQNPkCDCDk.因为 ABCDa，所以1aMNPQk，1akMQNPk，所以四边形 MNPQ的周长为2211aakMNPQMQNPakk.故选：A.【提分秘籍】基本规律平行关系确定的截面作图，一般情况下，利用线线、线面、面面特别是线面的平行性质定理推导
14、。【变式演练】1.在正方体1111ABCDA B C D中，与 AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是_和_.10/36学科网（北京）股份有限公司【答案】平面11AC D 平面11AC B 【分析】根据题意，结合图形，得出与 AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D，平面11AC B【详解】解：在正方体1111ABCDA B C D中，与 AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D，平面11AC B 11/AACC，11AACC，四边形11ACC A 是平行四边形；11/ACAC，又 AC 平面11AC D，11AC 平面11AC D，/AC平面11AC D；同理/A
15、C平面11AC B故答案为：平面11AC D，平面11AC B 2.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有（）A0 条B1 条C2 条D4 条【答案】C【分析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面 平行.【详解】如下图示，若平面 即为面 HEGF 为平行四边形，即/HEFG 且 HEFG，/EGHF 且 EGHF，11/36学科网（北京）股份有限公司又 HE 面 ACD，FG 面 ACD，则/FG面 ACD，而 FG 面 ABD，面 ABD面 ACDAD，/FGAD，由线面平行判定易知：
16、/AD平面；同理可得/EGBC，易得/BC平面.该三棱锥与平面 平行的棱有 AD、BC，共 2 条.故选：C3.如图是一个以A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC已知 AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边 AB 上是否存在一点 O，使得 OC平面 A1B1C1.【答案】存在【分析】取 AB 的中点 O，连接 OC，可证明11/,ODCC ODCC，即四边形 ODC1C 是平行四边形，所以 OCC1D，由线线平行证明线面平行，即得证【详解】存在，取 AB 的中点 O，连接 OC，作 ODAA1 交 A1B1 于点 D，连接 C1D，则 ODBB1CC1.因为 O
17、是 AB 的中点，所以 OD=12(AA1+BB1)=3=CC1，则四边形 ODC1C 是平行四边形，所以 OCC1D.又 C1D平面 C1B1A1，且 OC平面 C1B1A1，所以 OC平面 A1B1C1.12/36学科网（北京）股份有限公司即在边 AB 上存在一点 O，使得 OC平面 A1B1C1.【题型四】垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABCA B C的体积为6 3，2 3AB，D 是11B C 的中点，点 P 是线段1A D 上的动点，过 BC 且与 AP 垂直的截面 与 AP 交于点 E，则三棱锥 PBCE的体积的最小值为A32B 32C2
18、D 52【答案】A【分析】由正三棱柱111ABCA B C的体积为6 3，2 3AB，可求得12AA，由于2 3P ABCP BCEA BCEVVV，所以要使三棱锥 PBCE的体积最小，则三棱锥 EABC的体积最大，设 BC 的中点为 F，作出截面如图所示，可得点 E 在以 AF 为直径的圆上，从而可求出点 E 到底面 ABC 距离的最大值，进而可求得三棱锥 PBCE的体积的最小值【详解】如图所示，因为正三棱柱111ABCA B C的体积为6 3，2 3AB，所以2132 36 34AA，即12AA，因为21322 32 334P ABCP BCEA BCEVVV，所以要使三棱锥 PBCE的体
19、积最小，则三棱锥EABC的体积最大，设 BC 的中点为 F，作出截面如图所示，因为 AP，所以 AEEF，所以点 E 在以 AF 为直径的圆上，所以点 E 到底面 ABC 距离的最大值为3132 3222，所以三棱锥 PBCE的体积的最小值为213332 32 33242.故选：A.【提分秘籍】13/36学科网（北京）股份有限公司基本规律垂直关系确定的截面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直。【变式演练】1.如图，ABCDA B C D 为正方体，任作平面 与对角线 AC垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）AS 为定值，l 不为定值
20、BS 不为定值，l 为定值 CS 与l 均为定值 DS 与l 均不为定值【答案】B【分析】将正方体切去两个正三棱锥AA BD与CD BC后，得到一个以平行平面A BD 与D BC 为上、下底面的几何体V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱AB 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形11AB B A，考查E 的位置，确定,S l【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥AA BD与CD BC后，得到一个以平行平面A BD 与D BC 为上、下底面的几何体V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的
21、底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱AB 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形11AB B A，如图所示而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A 平行的线段（如图中1E E），显然，11E EA A，所以l 为定值，当E 位于AB 中点时，多边形W 为正六边形，而当E 称到A 时，W 为正三角形，则当周长这定值l 的正六边形与正三角形面积分别为2233,2436ll，所以S 不是定值，故选：B2.正方体1111ABCDA B C D，的棱长为 4，已知1AC 平面，1AC，则关于 截此正方体所得截面的14/36学科网（北京）股份有限公司判断正确的是（）A 截得的截面形状可能为正三角形
22、B1AA 与截面 所成角的余弦值为63C 截得的截面形状可能为正六边形D 截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【分析】首先根据已知条件确定截面,，然后根据选项依次判断正误即可.【详解】如图因为正方体1111ABCDA B C D ACBD，1BDCC，又1ACCCC BD 平面11ACC A又1AC 平面11ACC A 1ACBD同理：11ACA D又1A DBDD1AC 平面1A BD平面 可以是平面1A BD，又因为11A DBDA B1A BD 为等边三角形，故 A 正确取111111,A D D D CD CB BB A B 的中点,E G P K H F 并依次连接易知11=2E
23、GA D，因为 EG 平面1A BD，1A D 平面1A BD=EG平面1A BD同理：GP 平面1A BD 又因为 EGGPG且 EG 平面 EGPKHF，GP 平面 EGPKHF平面 EGPKHF平面1A BD 平面 可以是平面 EGPKHF=EG GPPKKHHFFE六边形 EGPKHF 是正六边形，故 C 正确以平面 是平面1A BD 为例计算：设 A 到平面1A BD 的距离为h等体积法求距离11A A BDAABDVV，111133A BDABDh SAA S 又因为113=4 24 2=8 322A BDS，1=4 4=82ABDS 4 3=3h则1AA 与平面1A BD 所成角
24、的正弦值为13=3hAA余弦值等于63，故 B 正确对于 D 选项：由于直线1AC，在正方体上任取点但异于1,A C，与1,A C 可构成平面 ，但是截面的形状都不是正方形，故 D 错误故选：ABC3.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，M 为1AA 的中点，平面 过点1D 且与CM 垂直，则（）15/36学科网（北京）股份有限公司ACMBDB/BD 平面C平面1/C BD平面D平面 截正方体所得的截面面积为 92【答案】ABD【分析】分析出 BD 面 ACM，可判断选项 A；取 AD 的中点 E，由平面几何知识可知，1DMD E，从而判断出CM 面11B D EF，即平面
25、截正方体所得的截面为梯形11B D EF，从而可判断剩余的三个选项.【详解】连接 AC，则 ACBD，又因为 BDAM，ACAMA,所以 BD 面 ACM，又因为CM 面 ACM，所以 BD CM，故选项 A 正确；取 AD 的中点 E，AB 的中点 F，连接1D F，EF，1B F，DM，11B D,在正方形11ADD A 中，由平面几何知识可知，1DMD E，又因为1CDD E，CDDMD，所以1D E 面CDM，所以1D ECM,又因为 BD CM，所以11B DCM，又因为1111D EB DD,所以CM 面11B D EF，即平面 截正方体所得的截面为梯形11B D EF，所以显然/
26、BD 平面，选项 B 正确；平面1C BD 与平面 不平行，选项 C 错误；在梯形11B D EF 中，112 2B D，2EF，115B FD E,所以梯形的高为 3 32，所以梯形11B D EF 的面积为 92，即平面 截正方体所得的截面面积为 92，故选项 D 正确.故选：ABD.【题型五】求截面周长【典例分析】如图，在正方体1111ABCDA B C D中，4AB，E 为棱 BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D），过点,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是_.16/36学科网（北京）股份有限公司【答案】9 5252 133【分析】首先根据面面平行的性质定
27、理作出过点,A E F 的正方体的截面，从而求截面的周长.【详解】如图，取11C D 的中点 H，取1CC 上靠近点1C 的三等分点G，连接,AE EG GH HF FA，易证/,/AEHF AFEG，则五边形 AEGHF 为所求截面.因为4AB，所以111182,3,1,3BECEC HD HA FD FCG，143C G 则102 5,3AEEG，2 13,5,5,3GHHFAF故该截面的周长是9 5252 133AEEGGHHFAF.故答案为：9 5252 133.【提分秘籍】基本规律1.截面周长，可以利用多面体展开图求。2.截面周长，可以在各个表面各自解三角形求解。【变式演练】1.正三
28、棱柱 ABCA1B1C1 中，所有棱长均为 2，点 E，F 分别为棱 BB1，A1C1 的中点，若过点 A，E，F 作一截面，则截面的周长为（）17/36学科网（北京）股份有限公司A2+2 5 B22 5133C2 513D132 52【答案】B【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.【详解】如图，在正三棱柱111ABCA B C中，延长 AF 与 CC1 的延长线交于 M，连接 EM 交 B1C1 于 P，连接 FP，则四边形 AEPF 为所求截面.过 E 作 EN 平行于 BC 交 CC1 于 N，则 N 为线段 CC1 的中点，由1MFC 相似于MAC可得 MC
29、1=2，由1MPC相似于 MEN 可得：111242,2333PCPCB P，在1Rt AA F 中，112,1AAA F，则22215AF，在 RtABE中，2,1ABBE，则22215AE，在1Rt B EP 中，1121,3B EB P，则22213133PE，在1C FP 中，11141,603C FC PFC P，由余弦定理：222441312 1cos60339PF ，则133PF，所以截面周长为：13132 13552 5333.故选：B.2.已知在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 C1D1，B1C1 的中点，过 A，E，F 三点作该正方体
30、的截面，则截面的周长为_【答案】6 133 2【分析】根据正方体的性质作出截面图形，进而算出周长.18/36学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，延长 EF，A1B1，相交于点 M，连接 AM，交 BB1 于点 H，延长 FE，A1D1，相交于点 N，连接 AN，交 DD1 于点 G，连接 FH，EG，可得截面为五边形 AHFEG.因为 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体，且E，F 分别是棱 C1D1，B1C1 的中点，由中位线定理易得：EF3 2，由勾股定理易得：AGAH2 13，EGFH 13，截面的周长为 AHHFEFEGAG6 13 3 2.故答案为：6 13 3 2.
31、3.已知直三棱柱111ABCA B C的侧棱长为 2，ABBC，2ABBC.过 AB、1BB 的中点 E、F 作平面 与平面11AAC C 垂直，则所得截面周长为（）A2 26B22 6C3 26D3 22 6【答案】C【分析】确定平面 与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.【详解】如下图所示，取 AC 的中点 J，连接 BJ，取 AJ 的 D，连接 DE，取11AC 的中点 K，连接 KJ、1B K，ABBC，J 为 AC 的中点，则 BJAC，1AA 平面 ABC，BJ 平面 ABC，1BJAA，1ACAAA，BJ 平面11AAC C，D、E 分别为 AJ、AB 的
32、中点，则/DE BJ 且12DEBJ，DE平面11AAC C，DE 平面 DEF，所以，平面 DEF 平面11AAC C，所以，平面 即为平面 DEF，设平面 交11B C 于点 I，在直棱柱111ABCA B C中，11/AA CC 且11AACC，所以，四边形11AAC C 为平行四边形，11/AC AC且11ACAC，19/36学科网（北京）股份有限公司J、K 分别为 AC、11AC 的中点，1/AJ A K且1AJA K，所以，四边形1AA KJ 为平行四边形，1/KJ AA且1KJAA，11/BBAA 且11BBAA，1/KJ BB且1KJBB，所以，四边形1BB KJ 为平行四边形
33、，/DE BJ，DE 平面1BB KJ，BJ 平面1BB KJ，/DE平面1BB KJ，设平面平面1BB KJFG，DE 平面，所以，/DE FG，/FG BJ，/BF GJ，所以，四边形 BFGJ 为平行四边形，可得11122GJBFBBKJ，所以，G 为 KJ 的中点，延长 DG 交11AC 于点 H，/DJ KH，所以，DJGHKG，JDGKHG，又JGKG，所以，DJGHKG，11122HKDJAJKC，H为1KC 的中点，因为平面/ABC平面111A B C，平面平面 ABCDE，平面平面111A B CIH，/DE IH，/DE BJ，1/BJ B K，/DE IH，1/IH B
34、K，I 为11B C 的中点，ABBC，2ABBC，则222 2ACABBC，J 为 AC 的中点，122BJAC，则1222DEBJ，同理22IH，因为直棱柱111ABCA B C的棱长为2，F 为1BB 的中点，1112BFBB，由勾股定理可得222EFBFBE，同理可得2IF，1/KJ BB 且12KJBB，1BB 平面 ABC，KJ平面 ABC，AC 平面 ABC，KJAC，G、D 分别为 KJ、AJ 的中点，则112GJKJ，1222DJAJ，由勾股定理可得2262DGDJGJ，同理62GH.因此，截面的周长为222263 262DEIHEFIFDH .故选：C.【题型六】求截面面积
35、【典例分析】已知正四棱柱1111ABCDA B C D中，1124BEBB，143ABAA，则该四棱柱被过点1A，C，E 的平面截得的截面面积为_.【答案】12 19【分析】在1DD 上取点 F，使得12D F，连接1,A F CF，则四边形1A ECF 是平行四边形，20/36学科网（北京）股份有限公司由勾股定理可得11,A E CE AC，再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意，正四棱柱1111ABCDA B C D中，1124BEBB，143ABAA，可得1118,2AABBCCBE，在1DD 上取点 F，使得12D F，连接1,A F CF，则有11,/A FCE A FCE，
36、所以四边形1A ECF 是平行四边形，由勾股定理可得222222211666 2,262 10,6682 34AECEAC，所以22211117240 1365cos2102 6 22 10A ECEACA ECA E CE,所以195sin10A EC，所以四边形1A ECF 是平行四边形的面积为1195sin6 22 1012 1910A EECA EC，故答案为：12 19【提分秘籍】基本规律求截面面积：1.判断界面是否规则图形2.求截面各边长度3.规则图形，可以用对应面积公式求4.不规则图形，可以分割为三角形等图形求。5.难点：动态面积最值，可参考本专题 10【变式演练】1.正方体11
37、11ABCDA B C D的棱长为 2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（）A5B 2 5C 4 6D 2 6【答案】D【分析】作出示意图，设 F 为1BB 的中点，连接1,AF FC EF，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E，再计算其面积.【详解】21/36学科网（北京）股份有限公司如图所示，设 F 为1BB 的中点，连接1,AF FC，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB，由/EG AB 且 EGAB，得 ABGE 是平行四边形，则/AEBG且 AEBG，又1/BG C F 且1BGC F，得1/AE C F 且1AEC F，则1
38、,A E C F 共面，故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E.又正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，11AFFCECEA，12 3AC，2 2EF，1EFAC，故1AFC E 的面积为12 22 32 62S.故选：D.2.在棱长为 a 的正方体1111ABCDA B C D中，E 为1AA 的中点，则过 B、1C、E 三点的平面截正方体1111ABCDA B C D所得的截面面积为（）A23 108aB298 aC23 24 aD2102 a【答案】B【分析】取11A D 中点 F，连接 BE、EF、1C F、1BC、1AD，证明出1/EF BC，故四点 B、1
39、C、E、F 共面，所以过 B、1C、E 三点的平面截正方体1111ABCDA B C D所得的截面为等腰梯形1EFC B，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点 F，连接 BE、EF、1C F、1BC、1AD，因为11/AB C D 且11ABC D，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11/ADBC，E、F 分别为1AA、11A D 的中点，所以，1/EF AD 且11222EFADa，所以，1/EF BC，故 B、1C、E、F 四点共面，所以过 B、1C、E 三点的平面截正方体1111ABCDA B C D所得的截面为等腰梯形1EFC B，其中22EFa，12BCa，2
40、2152BEC FABAEa，过点 E、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G、H，22/36学科网（北京）股份有限公司因为1BEC F，1EBGFC H，12EGBFHC，所以，1RtEBGRtFHC，故1BGC H，在平面1BC FE 内，因为1EGBC，1FHBC，1/EF BC，所以，四边形 EFHG 为矩形，则22GHEFa，所以，11224BCEFBGC Ha，所以，梯形1BC FE 的高2222523 2244aahBEBGa，梯形1B CFE 的面积223 21922428aSaaa.故选：B.3.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，点
41、 P 在线段1CB 上，且12B PPC，平面 经过点1,A P C，则正方体1111ABCDA B C D被平面 截得的截面为_，其面积为_.【答案】四边形1AEC Q 2 6 【分析】第一空，先画出1,A P C 所在平面，由平面11/AA DD平面11BBCC 得出1/AQEC，1/AQEC，1AECQ，四点共面，即为所求截面；第二空由已知条件可求出115,2 3AEECAC，再求出1AEC 的面积，再乘以 2 可得截面的面积.【详解】如图所示：1,A P C 确定一个平面，因为平面11/AA DD平面11BBCC，所以1/AQEC，同理1/AQEC，23/36学科网（北京）股份有限公司
42、所以四边形1AEC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B PPC，所以112C BCE，即1ECEB 所以115,2 3AEECAC由余弦定理得：22211111cos25AEECACAECAEEC，所以12 6sin5AEC，所以1AEC QS四边形1112sin2 62 AEECAEC.故答案为：四边形1AEC Q。2 6【题型七】球截面【典例分析】正三棱锥 PABC中，24 2PAAB，点 E 在棱 PA 上，且3PEEA，已知点 PABC、都在球O 的表面上，过点 E 作球O 的截面，则 截球O 所得截面面积的最小值为_.【答案】3【分析】通过补体把正三棱锥补成正方体，
43、则正方体的体对角线为外接球直径；求出3OE ，当OE 平面 时，平面 截球 O 的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截面的面积.【详解】4PAPCPB，4 2ABACBC，222PAPCAC，2CPA，同理2CPBBPA，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故24 3R，设 PA 的中点为 F，连接 OF，则2 2OF 且OFPA.所以8 13OE ，当OE 平面 时，平面 截球 O 的截面面积最小，此时截面为圆面【提分秘籍】基本规律计算球截面1.确定球心和半径2.寻找做出并计算截面与球心的距离3.要充分利用“球心做弦的垂
44、直垂足是弦的中点”这个性质4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。【变式演练】24/36学科网（北京）股份有限公司1.已知三棱锥 ABCD的所有棱长均相等，四个顶点在球O 的球面上，平面 经过棱 AB，AC，AD 的中点，若平面 截三棱锥 ABCD和球O 所得的截面面积分别为1S，2S，则12SS（）A 3 38B 3 316C 38D 364【答案】B【分析】根据平面截三棱锥 ABCD所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.【详解】设平面 截三棱锥 ABCD所得正三角边长为 a，截面圆的半径为 r，则2134Sa，由正弦定理可得2 3sin603ara，22243a
45、Sr，123 316SS，故选：B2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为3 的球O 上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（）AB 4C8D9【答案】C【分析】作出图形，可知四棱锥 PABCD为正四棱锥，由勾股定理可得出22329ha，分析得出3h，可设33cosh，23sina，其中02，可得出 218 1 cos1 cosP ABCDV，令cos0,1x，211f xxx，利用导数求出 f x 取最大值时对应的 x 的值，求出sin 的值，可得出 AE 的长，进而可求得结果.【详解】如下图所示，可知四棱锥 PABCD
46、为正四棱锥，设 ACBDE，则球心O 在直线 PE 上，设 PEh，2ABa，则2AEa，由勾股定理可得222OAOEAE，即22329ha，当四棱锥 PABCD的体积最大时，则点O 在线段 PE 上，则3h，可设33cosh，23sina，其中02，25/36学科网（北京）股份有限公司 22221249sin3 1 cos18 1 cos1 cos18 1 cos1 cos33P ABCDVa h，令cos0,1x，211f xxx，则 22 111311fxxxxxx.当103x时，0fx，此时函数 f x 单调递增，当 113x 时，0fx，此时函数 f x 单调递减，所以，max13f
47、 xf ，此时1cos3，22 2sin1 cos3，则3sin2 2AE，因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是28AE.故选：C.3.已知球 O 是正三棱锥 A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=2 3，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE过点 E 作球 O 的截面，则所得截面面积的最小值是（）A2B3C 4D5【答案】A【分析】如图，O1 是 A 在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出 O1E=1，当截面垂直于 OE 时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】解：如图
48、，O1 是 A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD 的外接圆半径 10313sin 602r；由勾股定理得棱锥的高 AO122(2 3)33；设球 O 的半径为 R，则22233RR，解得2R，所以 OO1=1；在BO1E 中，由余弦定理得2131 32 131,2O E 所以 O1E=1；所以在OEO1 中，OE=2；当截面垂直于 OE 时，截面面积最小，此时半径为222ROE，截面面积为2.故选：A【题型八】截面分体积【典例分析】已知正四棱柱中11AC、11B D 的交点为1O，AC、BD 的交点为2O，连接12O O，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线 AB 平行的平面截这个正
49、四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为 1 和 10，则正四棱柱26/36学科网（北京）股份有限公司1111ABCDA B C D的体积为_.【答案】3【分析】当截面平行于平面 ABCD时，截面面积最小；当截面为平面11A B CD 时，截面面积最大，根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积【详解】设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，由题知当截面平行于平面 ABCD时，截面面积最小；当截面为平面11A B CD 时，截面面积最大，因为过点O 且与直线 AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为 1 和 10
50、，所以222110aa ah，解得13ah，于是正四棱柱1111ABCDA B C D的体积为23a h.故答案为：3.【提分秘籍】基本规律对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求【变式演练】1.正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别是棱11B C，11C D 的中点，则正方体被截面 BEFD 分成两部分的体积之比为_.【答案】17：7 或 7：17【分析】如图，正方体被截面 BEFD 所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果【详解】27/36学科网（北京）股份有限公司
51、设正方体的棱长为 2，则正方体的体积为 8，因为 E，F 分别是棱11B C，11C D 的中点，所以棱台1EFCBDC的体积为 1111172(2 21 12 21 1)322223 ，所以另一部分的体积为717833，所以正方体被截面 BEFD分成两部分的体积之比为 17：7 或 7：17，故答案为：17：7 或 7：172.如图所示，在长方体 ABCDA B C D 中，用截面截下一个棱锥CA DD则棱锥CA DD的体积与剩余部分的体积之比为（）A1：5B1：4C1：3D1：2【答案】A【分析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求CA DD及剩余部分的体积，进而求其比
52、例即可.【详解】由图知：13CA DDA DDVC D S，ABCD A B C DA D DAVC D S ，而2A D DAA DDSS，剩余部分的体积为53ABCD A B C DCA DDA DDVVC D S ，棱锥CA DD的体积与剩余部分的体积之比为 1：5.故选：A3.三棱锥 DABC中，E、F、G、H 分别是棱 DA、DB、BC、AC 的中点，截面 EFGH 将三棱锥分成两个几何体：ABEFGH、CDEFGH，其体积分别为1V、2V，则12:V V （）A1：1B1：2C1：3D1：4【答案】A【分析】如图，连接,FH BH AF，设 ABC 的面积为S，D 到平面 ABC
53、的距离为h，故可计算几何体ABEFGH的体积为 16 Sh，从而可得两个几何体的体积之比.28/36学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，连接,FH BH AF，设ABC 的面积为S，D 到平面 ABC 的距离为h，则11111326424F BGHBGHVhShSSh，而11111326212F BAHBAHVhShSSh，又1112224F EAHHEAFHBAFF BAHVVVVSh，故几何体 ABEFGH的体积为 16 Sh，而三棱锥 DABC的体积为 13 Sh，故几何体 ABEFGH的体积与棱锥 DABC的体积之比为1:2，故两个几何体 ABEFGH、CDEFGH的体积之比为 1
54、:1.故选：A.【题型九】不规则截面（曲线形截面）【典例分析】如图，一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 090 的平面所截，截面是一个椭圆，当 为30 时，这个椭圆的离心率为（）A 12B32C 13D33【答案】A【分析】根据几何关系用圆柱的地面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可.【详解】29/36学科网（北京）股份有限公司设椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c 根据题意可知，24 322,2cos303RRbRa22224333cabRRR 所以椭圆的离心率12cea，选项 A 正确。故选：A.【提分秘籍】基本规律不规则截面，会产生截面图像为圆锥曲线，可参
55、考专题 8-1 立几中的轨迹 专题【变式演练】1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线 PB的中点，F 是线段 EO的中点，已知过CD与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为_，,M N 是该曲线上的两点且/MNCD，若 MN 经过点 F，则 MN _.【答案】抛物线 2 【分析】根据圆锥曲线的定义直接判断即可，再根据抛物线通径
56、的性质直接得出答案即可.【详解】由已知底面半径和高均为1，得2AP，又 E 为 PB中点，1222OEAP，且/OEAP，所以/AP平面CDE，根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，又 F 为OE 中点，故12224pOE，22p，又OP 底面，故OPCD，30/36学科网（北京）股份有限公司由CDAB，ABAPA，故CD 平面 PAB，CDOE，又/MNCD，故 MN 为抛物线的通径，22MNp.2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点1F，2F.过椭圆上一点 P 作圆
57、锥的母线，分别与两个球相切于点,M N.由球和圆的几何性质可知，1PNPF，2PMPF.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为22，则两球的球心距离为_.【答案】2 7【分析】设两球的球心距离为d，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得12cosDO O；利用三角形相似可求得14dCO，进而得到12cosO CF；利用椭圆离心率1212121212cos2cos2O OO CFF FeABO ODO O可构造方程求得结果.【详解】作出圆锥的轴截面如图所示，圆锥面与两球12,O O 相切于,B A两点，则1O BAB，2O AAB，过1O 作12O DO A，垂足为 D，连接12O F，
58、21O F，设12F F 与1OO 交于点C，设两球的球心距离为d，在12Rt O O D 中，23 12DO，214O Dd，2124cosdDO Od；31/36学科网（北京）股份有限公司1221FO CF O C，212112COCOO FO F，21COdCO，1131dCOCO，解得：14dCO，22211614dCFO C，2212116cosCFdO CFO Cd；由已知条件1PNPF，2PMPF知：122PMPNPFPFa，即轴截面中2ABa，又122F Fc，21212122121216cos2cos24dO OO CFF FdeABO ODO Odd，解得：2 7d，即两球
59、的球心距离为2 7.故答案为：2 7.3.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家 Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于 E，F，在截口曲线上任取一点 A，过 A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于 C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是 AE+AF=AB+AC=BC由 B，C 的产生方法可知，它们之间的距离 BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 E，F 为焦点的椭
60、圆如图，一个半径为 2 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 P，则球在桌面上的投影是椭圆已知12A A是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA，则椭圆的离心率为_【答案】23【分析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出ca、，得出离心率.32/36学科网（北京）股份有限公司【详解】O 切12A A 于1F,切1A P 于 E，15A P ，球半径为 2，所以3EP ，23tan EPO，12221234519tan A PA，12A PA 中，15A P，12112125A AA P，故212a,6a,根据椭圆在圆锥中截
61、面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球 O 与12A A相切的切点1F 为椭圆的一个焦点，且112A F，c2a,c=4，椭圆的离心率为23cea.故答案为：23【题型十】截面最值【典例分析】已知长方体1111ABCDA B C D中，12BBABBC，点 E 在线段1CC 上，101ECCC，平面 过线段1AA的中点以及点1,B E，若平面 截长方体所得截面为平行四边形，则实数 的取值范围是（）A0,1B 1 1,4 2C 1 2,2 3D 1,12【答案】D【分析】设线段1AA 的中点为 M，平面 与1DD 交于点 G，连接 GE，由已知得四边形1MGEB 是平行四边形，所以1/MG EB，
62、随着点 E 从 C 向1C 移动，则点 G 沿着1D D 向下运动，当点 G 仍在线段1DD 上时，面 截长方体1111ABCDA B C D所得截面始终是平行四边形，临界状态为点 E 为1CC 的中点，由此可得选项.【详解】解：设112BBABBC，则12BB，设线段1AA 的中点为 M，平面 与1DD 交于点 G，连接 GE，若平面 截长方体1111ABCDA B C D所得截面为平行四边形，即四边形1MGEB 是平行四边形，所以1/MG EB，随着点 E 从 C 向1C 移动，则点 G 沿着1D D 向下运动，当点 G 仍在线段1DD 上时，面 截长方体1111ABCDA B C D所得
63、截面始终是平行四边形，则点 G 从1DD 的中点开始运动，此时点 E 与1C 重合，直到点 G 运动到点 D 为止，此时点 E 为1CC 的中点，所以临界状态为点 E 为1CC 的中点，此时112ECCC，所以1,12，33/36学科网（北京）股份有限公司故选：D.【提分秘籍】基本规律截面有关的最值计算，多从这三方面 1.极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性）2.坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值。3.化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算【变式演练】1.在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D中，P 是线段1
64、BC 上的点，过1A 的平面 与直线 PD垂直，当 P 在线段1BC 上运动时，平面 截正方体1111ABCDA B C D所得的截面面积的最小值是（）A1B 54C62D2【答案】C【分析】以点 A 为坐标原点，AB、AD、1AA 所在直线分别为 x、y、z 轴建立所示的空间直角坐标系，设点1,01Pt tt，分0t、1t 、01t 三种情况讨论，确定截面 与各棱的交点，求出截面面积关于t的表达式，由此可解得截面面积的最小值.【详解】以点 A 为坐标原点，AB、AD、1AA 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0A、1 0,0,1A、1,0,0B、1 1,
65、0,1B、1,1,0C、1 1,1,1C、0,1,0D、1 0,1,1D，设点1,Pt t，其中01t .当0t 时，点 P 与点 B 重合，1,1,0BD ，1,1,0AC，10,0,1AA，所以，0BD AC，10BD AA，则 BDAC，1BDAA，1ACAAA，BD 平面11AAC C，此时平面 即为平面11AAC C，截面面积为12SAA AC；当1t 时，同可知截面面积为2S；34/36学科网（北京）股份有限公司当01t 时，1,1,DPtt，11,1,1AC，1110DP ACtt ，1ACPD，则1AC，设平面 交棱1DD 于点0,1,Ez，1,0,CEz，10DP CEtz
66、，可得11zt，不合乎题意.设平面 交棱 AB 于点,0,0M x，1,1,0CMx，110DP CMxt，可得 xt，合乎题意，即,0,0M t，同理可知，平面 交棱11C D 于点1,1,1Nt，11,1,0A NtMC，且1A N 与 MC 不重合，故四边形1A MCN 为平行四边形，11,1,1AC，11,1,0A Nt，1112112cos322AC A NtCA NACA Ntt，则2211221sin1 cos322ttCA NCA Ntt，所以，截面面积为1221111362sin2122242CA NSSACA NCA Nttt.综上所述，截面面积的最小值为62.故选：C.2
67、.在如图所示的直三棱柱111ABCA B C中，14AA，ABAC，过点1A 作平面 分别交棱 AB，AC 于点 D，E，且 AFDE，160AA F，则截面1A DE面积的最小值为（）A16 3 B32 3C36 3D 48 3【答案】B【分析】设,ADx AEy，由等面积法可知2211148xy，推导出 DE 平面1FAA，1DEA F，从而1221142A DESDEA Fxy，即可求解.【详解】在1RtFAA中，由160AA F，14AA，可得18A F，4 3AF，设,ADx AEy，在 RtADE中，AFDE，由等面积法可知2211148xy，35/36学科网（北京）股份有限公司因
68、为1AADE，AFDE，1AAAFA，1AA，AF 平面1FAA，所以 DE 平面1FAA，又由1A F 平面1FAA，所以1DEA F，所以1221142A DESDEA Fxy，因为2222222222114848 24822192yxxyxyxyxy，当且仅当4 6xy时，等号成立，所以1min32 3A DES.故选：B.3.如图所示，在长方1111ABCDA B C D中，13,4,5ABADAA，点 E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED交棱1AA 于点 F，则四棱锥11BBED F的体积为_，截面四边形1BED F 的周长的最小值为_.【答案】20 2 74 【分析】根据锥
69、体的体积计算，利用切割法可得四棱锥11BBED F的体积；将几何体展开，根据两点之间直线最短，即可求出最短周长的截面，进而根据勾股定理即可求得结果.【详解】由题意可得1/D F BE，利用切割法可得1111111111BBED FBBEDBBFDDBEBDBFBVVVVV11111 113 22BB BC ABBB D A AB11 5 4 35 4 32032 ；将长方体展开，如图所示，当点 E 为1BD 与1CC 的交点、点 F 为1BD 与1AA 的交点时，截面周长最小，此时截面的周长为12BD，而在1BDD 中，22153474BD，所以截面周长的最小值为2 74.故答案为：20；2 74.36/36学科网（北京）股份有限公司则数列kMk恒为等比数列不成立，D 错误.故选：C.
