1、第十二篇 坐标系与参数方程(选修4-4)第 2 节 参数方程 最新考纲1.了解参数方程及其参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导它们的参数方程4.了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用；了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.返回导航返回导航1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数xft，ygt，并且对于 t 的每一个允许值，上式所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为这条曲线的_，其中变数 t 称为参变数，简称_参数方程参数2直线、圆、椭圆的参数方程
2、曲线参数方程过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 lxx0tcos，yy0tsin(t 为参数)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R 的圆xx0Rcos，yy0Rsin(为参数)圆心在原点，半径为 R 的圆xRcos，yRsin(为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos，ybsin(为参数)返回导航3.直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是xx0tcos，yy0tsin(t是参数)若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则(1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0t1cos，y0t1sin)，(x0t2
3、cos，y0t2sin)(2)|M1M2|t1t2|.返回导航(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 tt1t22，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|t|t1t22.(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1t20.返回导航1参数方程x3t22，yt21(0t5)表示的曲线为()(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线返回导航A 解析：参数方程化为普通方程为 x3(y1)2，即 x3y50，由于 x3t222,77，故曲线为线段故选 A.2若直线 l：x2t，y14t(t 为参数)与曲线 C：x 5cos，ym 5sin (为参数)相切，则实数 m 为
4、()(A)4 或 6(B)6 或 4(C)1 或 9(D)9 或 1返回导航A 解析：由x2t，y14t(t 为参数)，得直线 l：2xy10，由x 5cos，ym 5sin (为参数)，得曲线 C：x2(ym)25，因为直线 l 与曲线 C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m1|221 5，解得 m4 或 m6.故选 A.返回导航3在平面直角坐标系中，曲线 C：x2 22 t，y1 22 t(t 为参数)的普通方程为_返回导航解析：直接化简，两式相减消去参数 t，得 xy1，整理得普通方程为 xy10.答案：xy104在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为x135ty45t(t
5、为参数)与曲线 C 的参数方程y4k2y4k(k 为参数)交于 A、B 两点，则线段 AB 长为_返回导航解析：由题意知 l 的方程为 4x3y40，曲线 C 方程为 y24x，由4x3y40y24x解得 A(14，1)，B(4,4)，所以|AB|254返回导航答案：2545在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1 的极坐标方程为(cos sin)2，曲线 C2的参数方程为xt2，y2 2t(t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_返回导航解析：将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普
6、通方程，再把曲线的参数方程代入直线的普通方程求交点坐标由(cos sin)2 得 xy2.方法一：由xt2，y2 2t，得 y28x，联立xy2，y28x，得x2，y4，即交点坐标为(2，4)返回导航方法二：把xt2，y2 2t 代入 xy20 得 t22 2t20，解得 t2，x2，y4，即交点坐标为(2，4)返回导航答案：(2，4)返回导航考点一 参数方程与普通方程的互化 设直线 l 的参数方程为x3tcos，y4tsin(t 为参数，为倾斜角)，圆 C 的参数方程为x12cos，y12sin(为参数)(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率；(2)若直线 l 与圆 C 交
7、于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取值范围解析：(1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的圆心是C(1，1)，所以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k52.(2)解法一 由圆 C 的参数方程x12cos，y12sin，得圆 C 的圆心是C(1，1)，半径为 2.由直线 l 的参数方程x3tcos，y4tsin(t 为参数，为倾斜角)，得直线 l 的普通方程为 y4k(x3)(斜率存在)，即 kxy43k0.返回导航当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|52k|k212，解得 k2120.即直线 l 的斜率的取值
8、范围为2120，.解法二 将圆 C 的参数方程x12cos，y12sin 化成普通方程为(x1)2(y1)24，将直线 l 的参数方程代入式，得t22(2cos 5sin)t250.返回导航当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即 4(2cos 5sin)21000，即 20sin cos 21cos2，两边同除以 20cos2，得 tan 2120，即直线 l 的斜率的取值范围为(2120，)返回导航【反思归纳】(1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参，消参过程注意两点：一是准确把握参数形式之间的关系；二是注意参数取值范围对曲线形状的影响(2)已知曲线的普通
9、方程求参数方程时，选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程返回导航【即时训练】已知曲线 C 的方程 y23x22x3，设 ytx，t 为参数，求曲线 C 的参数方程返回导航解：将 ytx 代入 y23x22x3，得 t2x23x22x3，即 2x3(3t2)x2.当 x0 时，y0；当 x0 时，x3t22，从而 y3tt32.因为原点(0,0)也满足x3t22，y3tt32，所以曲线 C 的参数方程为x3t22，y3tt32(t 为参数)返回导航考点二 参数方程及其应用(1)P 是以原点为圆心，r2 的圆上的任意一点，Q(6,0)，M 是 PQ 中点画图并写出O 的参数方程；当点 P 在圆
10、上运动时，求点 M 的轨迹的参数方程(2)在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x，y)是椭圆x23y21 上的一个动点，求 Sxy 的最大值返回导航解析：(1)如图，O 的参数方程x2cos y2sin，设 M(x，y)，P(2cos，2sin)，因 Q(6,0)，M 的参数方程为x62cos 2y2sin 2，即x3cos ysin.返回导航(2)由椭圆x23y21 的参数方程为x 3cos ysin，(为参数)，故可设动点 P 的坐标为(3cos，sin)，其中 02.因此，Sxy 3cos sin 232 cos 12sin 2sin3，所以当 6时，S 取得最大值 2.返回导航【反思
11、归纳】一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了返回导航【即 时 训 练】已 知 过 点 P(0，1)的 直 线 的 参 数 方 程 为x12ty1 32 t(为参数)，在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 2asin cos20(a0)()求曲线 C 的直角坐标方程；()若直线与曲线 C 分别交于点 M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值返回导航解析：(1)2asin cos20，2asin22cos20，将 cos x，sin
12、 y 代入上式可得 x22ay(a0)，曲线 C 的直角坐标方程 x22ay(a0)(2)将x12ty1 32 t代入 x22ay 消去 x，y 整理得t24 3at8a0，直线与抛物线交于两点，(4 3a)248a0，返回导航又 a0，a23.设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t24 3a，t1t28a.|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，|MN|2|PM|PN|，即|t1t2|2t1t2，(t1t2)24t1t2t1t2，即(4 3a)240a0，解得 a56或 a0(舍去)a56.返回导航考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1
13、，2)，直线 l：x1t，y2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B.(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程；(2)求|PA|PB|.返回导航解析：(1)直线 l：x1t，y2t(t 为参数)，消去 t，可得直线 l 的普通方程为 xy30，曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos，即为2sin22cos，由 xcos，ysin 可得曲线 C 的普通方程为 y22x.(2)直线 l 的标准参数方程为 l：x1 22 t，y2 22 t(t 为参数)，代入曲线 C：y22x，可得
14、 t26 2t40，有 t1t26 2，t1t24，则|PA|PB|t1|t2|t1t26 2.返回导航【反思归纳】极坐标方程与参数方程综合问题的求解，一般要将其分别转化为直角坐标方程与普通方程，进而统一形式进行求解，要注意转化过程的等价性，特别是参数取值范围问题返回导航【即时训练】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：24cos 30，0,2)，曲线 C2：34sin6，0,2)(1)求曲线 C1 的一个参数方程；(2)若曲线 C1 和曲线 C2 相交于 A，B 两点，求|AB|的值返回导航解析：(1)由 24cos 30 可得，x2y
15、24x30.即(x2)2y21.令 x2cos，ysin，则 C1 的一个参数方程为x2cos，ysin(为参数，R)返回导航(2)C2：4(sin 6cos cos 6 sin)3，412x 32 y 3，即 2x2 3y30.圆心到直线的距离 d14，直线 2x2 3y30 与圆(x2)2y21 相交于 A，B 两点，|AB|211422 154 152.返回导航参数方程与极坐标方程的综合应用 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O 的方程为 x2y24，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 2cos 21.(1)求圆 O 的参数方程和曲线 C 的直角
16、坐标方程；(2)已知 M，N 是曲线 C 与 x 轴的两个交点，点 P 为圆 O 上的任意一点，证明：|PM|2|PN|2 为定值返回导航审题点拨关键点所获信息曲线 O 是圆化曲线 C 方程为普通方程解题突破：(1)利用公式 sin2tcos2t1 和xcos，ysin 进行转化(2)利用参数方程设 P 点坐标并代入。返回导航满分展示：解：(1)圆 O 的参数方程为x2cos y2cos ，(为参数)，1 分。由 2cos 21 得：2(cos2sin2)1，即 2cos22sin21，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y21.4 分(2)由(1)知 M(1,0)，N(1,0)，可设 P(2cos，2sin)，所以|PM|2|PN|2(2cos 1)2(2sin)2(2cos 1)2(2sin)254cos 54cos 10所以|PM|2|PN|2 为定值 10.10 分返回导航答题模板：第一步：由三角函数的性质可得圆 O 的参数方程；第二步：将曲线 C 的极坐标方程化为普通方程；第三步：求出 M、N 两点坐标；第四步：用参数方程设 P 点坐标并代入化简。返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
