1、高一数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第四章第二节一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在平行四边形ABCD中，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量加减法规则求解.【详解】如图，根据平面向量的加法规
2、则有： ；故选：D.2. 下列函数为偶函数且在 上为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的性质逐项分析.【详解】对于A， 奇函数；对于B， 是奇函数；对于C， 是偶函数，并且在 时是减函数；对于D， 是偶函数，但在 时是增函数；故选：C.3. 已知、三点共线，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出、，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.【详解】因为、，则，因为、三点共线，则，所以，即故选：C.4. 已知一扇形的面积为8，所在圆的半径为2，则扇形的周长为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】根
3、据扇形面积公式求弧长，进而求扇形的周长.【详解】由题知：由扇形的面积，且，为弧长，所以弧长，则扇形的周长为12故选：D5. 已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形【答案】D【解析】【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，得到，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为钝角三角形.故选：D.6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数单调性结合中间值即可比较大小.【详解】因为函数在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，所以
4、，因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故选：A7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（注：）（ ）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】B【解析】【分析】借助正弦定理求解三角形.【详解】由题意得，在中，由正弦定理有，代入数据得，解得因为，所以，（海里）故选：B8. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化如图1所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”
5、，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若以为始边，射线绕着点逆时针旋转，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，然后结合余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知得，所以故选:D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知函数，则（ ）A. 的图象关于对称B. 的图象关于直线对称C. 为奇函数D. 为偶函数【答案】BC
6、【解析】【分析】利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可【详解】因为，A错误；，B正确；，所以是奇函数，C正确；易知，所以不是偶函数，D错误故选：BC10. 在ABC中，E为AC的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用向量的线性运算可得AB选项正误；利用向量的数量积公式可得CD选项正误.【详解】因为，所以，故A错误；由向量加法的三角形法则，可得，故B正确；由数量积公式得：，故C错误；，故D正确故选：BD11. 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】ABC【
7、解析】【分析】由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果.详解】由正弦定理得，则，又，且满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，所以，故故选：ABC12. 已知函数，则（ ）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. 既是周期函数又是奇函数D. 的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，验证即可；对于B，验证即可；对于C，找反例即可判断；对于D，令，则原函数可化为，分结合基本不等式即可判断.【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称A正确对于B，因，所以的图象关于点对称，B正确对于C，则，所以不是奇函数， C错误对于D，令，则，当时，；当或时，当且仅当时，等号成立，此
8、时函数取得最大值，D正确故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13. 函数的最小正周期为_，最小值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】利用正弦函数的性质求解【详解】的最小正周期，最小值为3.故答案为：；14. 已知函数的图象关于点对称，则_.【答案】#【解析】【分析】由正切函数的图象关于点对称求解【详解】因为的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以.故答案为：15. 已知M为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，B关于点C的对称点为D，若，则_【答案】【解析】【分析】以为基底，利用A，B，M三点共线求解.【详解】因
9、为A关于点O的对称点为C，所以， ， ，又B关于点C的对称点为D，所以，又，所以，因A，B，M三点共线，所以，即 ；故答案为：16. 如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，现过点建一条直路分别交正方形区域两边，于点和点，若对五边形区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设和的长，使的面积最小，即可使五边形面积最大.【详解】设，（，）， ，的面积为，的面积为，的面积，即，由基本不等式得，解得，即，当且仅当，即，时，等号成立，的面积的最小值为，五边形面积的最大值故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.
10、在中，角A，所对的边分别为，已知（1）求角；（2）若，的周长为，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）由正弦定理计算即可.【小问1详解】由余弦定理可得，解得，因为C是的一个内角，故小问2详解】因为，的周长为，所以，由正弦定理，可得解得18. 已知平面向量，且（1）求的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的模【答案】（1） （2）【解析】【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义和坐标运算规则求解.【小问1详解】设，因为 ，所以，又，解得，所以；【小问2详解】，所以， 则向量在向量上的投影向量的模为；综上，向量在向量上的投影向量的模为5.19. 已知角的始边为
11、轴非负半轴,终边过点.（1）求的值.（2）已知角的始边为轴非负半轴,角和的终边关于轴对称,求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义得值,然后由诱导公式化简后代入计算;（2）写出关系,求出的值,再代入两角差的正弦公式求解即可.【小问1详解】由题可知,则,所以.【小问2详解】因为角和的终边关于轴对称,所以,所以.20. 赵爽是我国古代数学家，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较
12、大的等边三角形已知（1）证明：F为AD的中点；（2）求向量与夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由得，再根据全等三角形性质可得，从而可得，继而得出E为CF的中点，F为AD的中点，从而得证.（2）设，由向量的线性运算可得，分别求出的值，由向量与夹角的余弦值为得出结论.【小问1详解】证明：因为，所以由正弦定理得又因为，所以，所以，即E为CF的中点，所以F为AD的中点.【小问2详解】设，所以，则，所以又，所以向量与夹角的余弦值为21. 如图，在平面四边形ABCD中，（1）若，求ACD的面积；（2）若，求的最大值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先用余弦定理求出
13、 ，再利用面积公式求解；（2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【小问1详解】在中，因为，所以，所以的面积；【小问2详解】设， ，则，在中，则，在 中，则，所以，当时，取得最大值；综上，的面积为 ，的最大值.22. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上无零点，求正数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据图中的点的坐标求出参数值即可求出函数解析式；（2）先通过图象变换求出函数解析式，然后利用函数无零点建立不等式关系即可求解.小问1详解】因为，可得，因为在处附近单调递增，所以，所以，因为，所以因为在处附近单调递减，且当时，在处的第一次取值为，所以，可得.即.【小问2详解】将图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到的图象，再把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，则，由在区间上无零点可得，解得，因为，所以，则，解得，由，可得，即正数的取值范围为.
