1、华中师大一附中2022级新生入学测试数学试题一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足条件的所有集合的个数是（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2. 二次三项式因式分解正确的是（）AB. C. D. 3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列
2、判断正确的是（）A. B. C. D. 6. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距7. 关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（）A. B. C. D. 8. 如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（）A. B. C. D. 二多项选择题9. 在即将开启的新高一数学课程中发现，同学们会陆续接触到集合论的创始人格奥尔格底托尔和解析几何
3、之父勒内笛卡尔等著名的数学家，正是有些伟大的数学家的研究和发现，才使得我们的人类文明得以推动，请从下列图片中选出康托尔和笛卡尔（）A. B. C. D. 10. 已知，下列结论正确的是（）A. B. C. D. 11. 已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（）ABC. 的解集为D. 的解集为或12. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（）A. B. C. D. 三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 甲工厂将生产I号II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨I
4、I号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案_（写出要装运包裹的编号）；14. 已知满足，使直线的图像经过一二四象限的的概率是_.15. 定义一种新运算：对平任意的非零实数.若，则的值为_.16. 如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点都在函数的图像上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为_；点的坐标为_.四解答题17. 已知，且，求下列代数式的值：（1）；（2）.（注：立方和公式）18. 已知
5、集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围：（3）若，求实数的取值范围.19. 某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）.（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？20. 已知函数.（1）若，判断的奇偶性并加以证明.（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.21.
6、 （1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点.求证：（2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求长.（3）拓展：如图，在菱形中， ,为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长.22. 如图，抛物线交x轴于AB，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且，（1）求a的值；（2）如图，点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PFy轴，垂足为F，求的值；（3）在（2）的条件下，连接PB，如图，若PE+PB=DE，求点P的坐标.1【答案】D2【答案】B3【答案】B4【答案】B5【答案】C6【答案】A7【答
7、案】D8【答案】B9【答案】BC10【答案】ABD11【答案】ABC12【答案】BD13【答案】（答案不唯一）14【答案】15【答案】#16【答案】 . #0.5； . 17【答案】（1）（2）【小问1详解】因为，且，所以，所以【小问2详解】因为，且，所以.18【答案】（1）（2）（3）【小问1详解】由题意知，因为，所以 , ,即实数的取值范围为；【小问2详解】由（1）知，,即实数的取值范围是；【小问3详解】由题意知或，或，或，即实数的取值范围是.19【答案】（1）（2）65元 ；6250元【小问1详解】由题意可得；【小问2详解】由题意得，即，当时，取最大值6250，当时，取最大值6125，故
8、当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元.20【答案】（1）为奇函数，证明过程见解析；（2）【小问1详解】，当时，定义域为R，此时，所以为奇函数，当时，定义域为，且，所以为奇函数，综上：为奇函数.【小问2详解】,即，在上恒成立，整理为在上恒成立，令，当时，所以，故实数的取值范围为.21【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或【详解】（1）证明：在正方形中，将沿翻折到处，故,为公共边,所以；（2）延长BH,AD交于Q，设，由于沿翻折到处，故AB=BF，在中，解得，, ,即，,设，,即，解得，即的长为；（3）当时，延长FE交AD于Q,过Q作QH垂直于CD于H,设,将沿翻折得到,
9、 ,故AE是的角平分线，,在，联立解得 ，故；当时,延长FE交AD的延长线于,作垂直于CD的延长线于，设,同理可得，同理可得 , ,即 ，由可得，联立解得 ，故；综合上述，PC的长为或.22【答案】（1）（2）2（3）【小问1详解】因为 ，所以，点D为抛物线在第三象限内一点，故D点横坐标为，D点纵坐标为，即,将坐标代入中，；【小问2详解】由（1）知，故点C坐标为，设点P的坐标为，需满足，设直线PD的方程 ，故，即，则点，,而PFy轴，则，故；小问3详解】在DE上截取EM=EP,作于H，作y轴，作于Q,设点P的坐标为,由（2）知，,在和中，,即，由于,故舍去，所以，代入抛物线方程中，则，即P点坐标为.
