1、黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)（一模） 2013年1月17日考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1已知集合，则2若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为 3. 若数列的通项公式为，则 4已知直线和，则的充要条件是= 5的展开式中的系数是 （用数字作答）结束n1,
2、S0nn+1np输出S否是SS+输入p开始（第8题图）6盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于7已知，则的值为 8执行右边的程序框图，若，则输出的S = 9已知函数，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 10已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为 11已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为 12已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是 13已知F是双曲线：的右焦点，O是双曲线的中心，直线是双曲线
3、的一条渐近线以线段OF为边作正三角形MOF，若点在双曲线上，则的值为 14已知命题“若，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是 （ ）A菱形 B矩形 C直角梯形 D等腰梯形16若（，是虚数单位），则的最小值是 （ ）A B CD 17若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：是偶函数；对任意的都有；在上单调递增；在上单调递增其中正确结论的个数为 （ ）A1 B2 C3 D418若矩阵满足下列条件：
4、每行中的四个数所构成的集合均为；四列中至少有两列的上下两数是相同的则这样的不同矩阵的个数为 （ ）A48 B72 C168 D312三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的中点（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列（1）若且，求的值；（2）若，求的
5、取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分如图所示，是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点， 且矩形的面积小于150平方米 （1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为（1）求椭圆C和
6、其“准圆”的方程；（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”设函数的定义域为，且（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由与+2；
7、与 黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷（理科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1；22；3； 43；536；6； 7； 8；9； 10；11； 12； 13；14二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15A 16D 17B 18 C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个
8、小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分解：（1）连，由、分别为线段、的中点，可得，故即为异面直线与所成的角 2分在正方体中，平面， 平面，在中， 所以异面直线EF与BC所成的角为 6分（2）在正方体中，由平面，平面，可知，是中点，又与相交，平面， 9分又， 故，所以三棱锥的体积为 12分20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）A、B、C成等差数列，又,， 2分 由得， 4分又由余弦定理得， 6分由、得， 8分（2）由（1）得，即，故= 10分=， 12分由且，可得， 即，的取值范围为 14分21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，
9、第2小题满分6分解：（1）由NDCNAM，可得，即，3分故， 5分由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为 8分（2）令，则由，可得，故 10分， 12分当且仅当，即时又，故当时，取最小值96故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米 14分22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 4分（2）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，故, 8分又，故， 所以的取值范围是 10分（3）设，则当时，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线
10、的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程可得，即，由， 13分可得，其中， 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即综上可知，对于椭圆上的任意点，都有 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分解：（1）由题意知恒成立，令，可得，是公差为1的等差数列，故，又，故 3分（2）当时，令，可得，解得，即时， 4分 故在上的取值范围是 又是的一个“P数对”，故恒成立， 当时， 6分 故为奇数时，在上的取值范围是； 当为偶数时，在上的取值范围是 8分所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为10分（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，即恒成立，令，可得，即对一切恒成立，所以，故 14分若，则必存在，使得， 由是增函数，故，又，故有18分
