1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！KS5U2015 辽宁高考压轴卷理科数学第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数iz 21对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设全集 U=R，|AxNx110，|BxR xx260，则图 1 中阴影表示的集合为（）A.2B.2,3C.3D.2,1,33.函数sincosyxx的最小正周期是（）A.B.2C.2D.14.已知 01a，log2log3aax，1 log 52ay，log21log3aaz，则
2、zyx,的大小关系是（）A.yxzB.xyzC.zyxD.zxy5.如图 2，用 6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”（即图中 A、B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有().36 种.210 种.216 种.120 种6.在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和的 15，则中间一组的频数为（）A.40B.50C.60D.487.数列na满足*1111(),22nnaanNa，nS 是na的前 n 项和，则2011S（）A.502B.500C.504D.498本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选
3、择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟AB图 2图 1高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！8.若过点 A)1,0(的直线l 与曲线12)3(22 yx有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为A.)33,33(B.3,33C.),3()3,(D.,3333,9.已知nxix2的展开式中第 3 项与第 5 项的系数之比为143，则展开式中的常数项为（）A.21B.16C.35D.4510.设niiiinfnn(1111)(N),则集合)(nfxx中元素的个数是（）A.1B.3C.2D.411.如图 3，四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SDAD
4、，且 SD=1，SB=3，M 为SA 的中点，则异面直线 DM 与 SB 所成角为（）A.30B.60C.45D.9012.设函数12,0()(1),0 x xf xf xx，方程axxf)(有且只有两相不等实数根，则实数 a的取值范围为（）A.3,4B.)4,1(C.3,(D.),4 第卷二、（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13.不等式252(1)xx的解集.ABDCSM图 3高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！14.设 x、y 满足约束条件5,3212,03,04.xyxyxy ，则目标函数65zxy取得最大值的点(,)x y 的坐标是.15.问题：在测量某物
5、理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1，a2，an，共 n 个数据我们规定所测量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a2，an 推出的a.16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为1F，2F，且它们在第一象限的交点为 P，12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形若1PF 10，双曲线的离心率的取值范围为)2,1(，则该椭圆的离心率的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）ABC 中，角 A 的对边长等于 2，向量
6、m=22 2cos12BC，向量 n=sin,12A.（1）求 mn 取得最大值时的角 A；（2）在（1）的条件下，求ABC 面积的最大值.18.（本小题满分 12 分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有 8 张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的 4 人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽 2 张，抽取后不放回，直到 4 人中一人一次抽到 2 张“奥运福娃”卡才能得到奖并终止游戏（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽”卡？主持人说：若从盒中任抽 2 张卡片不都是“奥运会徽”卡的概率为
7、 2528请你回答有几张“奥运会徽”卡呢？（2）现有甲、乙、丙、丁 4 人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取用 表示 4 人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求 的概率分布及 的数学期望19.（本小题满分 12 分）如图 4，已知长方体1111DCBAABCD 中，,2,3BCAB51 CC,E 是1CC 上不同于端点的点，且1CCCE.（1）当1BEA为钝角时，求实数 的取值范围；（2）若52，记二面角的大小为，求cos.（图 4）ABCDEA1B1C1D1高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！20.（本小题满分 12 分）如图 5，已知位于 y 轴左侧的圆C
8、 与 y 轴相切于点(0,1)，且被 x 轴分成的两段弧长之比为2 1:，过点(0,)Ht 的直线 l 与圆C 相交于,M N 两点，且以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O（1）求圆C 的方程；（2）当1t 时，求出直线l 的方程；（3）求直线OM 的斜率 k 的取值范围21.（本小题满分 12 分）已知函数2()lnf xaxx，21145()ln639fxxxx，221()22fxxax，aR（1）求证：函数()f x 在点(e,(e)f处的切线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若2()()f xfx在区间1,上恒成立，求 a 的取值范围；（3）当23a 时，求证：在区间1,上，满足12(
9、)()()fxg xfx恒成立的函数()g x 有无穷多个请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知 ABC中，ACAB，D 是 ABC外接圆劣弧 AC 上的点（不与点 A、C 重合），延长 BD 至点 E 求证：AD 的延长线平分CDE.xyOC图 5BACDE（第 22 题图）高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin42,cos41yx（为参数），直线l
10、经过定点)5,3(P，倾斜角为 3.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于BA,两点，求PBPA 的值.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数xxxf52)(.（1）求证：5)(xf，并说明等号成立的条件；（2）若关于 x 的不等式2)(mxf恒成立，求实数 m 的取值范围.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！KS5U2015 辽宁高考压轴卷理科数学答案一、选择题1.D2.A3.D4.A5.C6.B7.A8.D9.D10.B11.D12.A解析：1iz 21iii5152422，即该复数 z 对应的点在
11、第四象限.故选 D.2.3,2B ，则 AB 2.故选 A.3.1sincossin 22yxxx，周期1T.故选 D.4.log2log3aax 6log a，1 log 52ay 5log a，log21log3aaz 7log a，又01a，即对数函数在其定义域内为减函数，所以有5log6log7logaaa，即yxz.故选 A.5.解法一：6 种颜色中选三色、两色、一色填涂，共有2161623263336CACAC（种）；解法二：涂眼睛有16C 种，涂鼻子有16C 种，涂嘴巴有16C 种，共有216161616CCC种.故选C.6.在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的
12、面积之和为 1.设中间一个小长方形面积为 x，则1(1)5xx，解得16x，中间一组的频数为 1300506.故选B.7.123411,1,122aaaa ，201111005 110065022S.故选 A.8.设01,1:ykxkxyl，求 出 直 线 与 圆 相 切 时 的 斜 率.113322 k，33k，所以直线l 的斜率的取值范围为,3333,9.第 3 项，第 5 项的系数分别为22)(iCn，44)(iCn.由题意有143)()(4422iCiCnn，整理得高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！05052 nn，解 得10n符 合 题 意.由rrrrnix
13、xCT)(2220101，当02220rr时，有8r，故常数项为45)(2108810CiC.故选 D.10.)(nf=11()11nnnniiiiii,分 n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3(kN)四种情况，分别代入可得的值为2,0,2.故选 B.11.取 AB 的中点 N，连结 MN，DN，则 MNSB，DMN 就是异面直线 DM 与 SB 所成的角M 为 SA 的中点MN 12SB32.在 RtSAD 中，DM=12SA=1222SDAD=22在 RtAND 中，DN=22ADAN=114=52.在 RtDMN 中，MN2+DM2=DN2=54，DMN 为直角三角形，DM
14、N=90.异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90.故选 D.12.作出函数图象，由数形结合可知，axxf)(经过)4,1(时有 2 个交点，因此可得3a，所以实数 a 的取值范围3,4.故选 A.二、填空题13.1 1132，14.)3,2(15.12naaaan16.52,31解析：13.由252(1)xx，整理得03522 xx，解得321x.又01 x，即1x，ABDCSMNxyO2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！所以原不等式的解集为1 1132，.14.在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围.欲求65zxy的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图
15、可知，在(2,3)点处目标函数65zxy取得最大值.15.本题涉及的数量较多，关键在于对题目所给信息的提炼、加工.仔细读题后发现可以写出“最佳近似值”a 的函数表达式，这样问题就转化为函数的最值问题了，即关于 a 的二次函数22212()()()()nf aaaaaaa222212122()nnnaa aaaaaa有最小值，而此时12naaaan.16.如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1a，c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2a，c，1PF m，2PF n，则1222102mnamnamnc，得1255acac，问题转化为 1 5cc2，求 5cc的取值范围设 5ccx，则 c 51xx，
16、所以 5cc 21xx 12142x 因为 1x2，所以 12 16 12142x 12 110，即 13 12142x 25三、解答题17.解：（1）mn2 sin 2A 22cos12sincos()22BCABC.因为 ABC，所以 BCA，于是 mn 2sin 2A cosA22sin2sin122AA 2213(sin)222A.因为0,22A，所以当且仅当 sin 2A 12，即 A 3 时，mn 取得最大值 32.故 mn 取得最大值时的角 A 3.（2）设角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，由余弦定理，得 b2c2a22bccosA，即bccbbc2422，所以4bc
17、，当且仅当2 cb时取等号.又343sin21bcAbcS ABC.当且仅当2cba时，ABC 的面积最大为3.18.解：（1）设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有，28251282 CCn，解得3n.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！即盒中有“会徽卡”3 张（2）因为 表示某人一次抽得 2 张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以 的所有可能取值为 1，2，3，4.145)1(2825 CCP；2211235354222286862(2)7CCCCCPCCCC；211111122221131535353424242222222228648648643(3)
18、14CCCCCCCCCCCCCPCCCCCCCCC；11111123513242222286421(4)7CCCCCCCPCCCC，概率分布表为：1234P1457214371的数学期望为71571414337221451E19.解：（1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1DD 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设，知)0,3,2(B，)5,0,2(1A，)0,3,0(C，)5,3,0(1C.因为 CECC1，所以1CCCE,所以)5,3,0(E.从而 EB(2，0，5)，)5,0,2(EB,)55,3,2(1EA.当1BEA为钝角时，0cos1 BEA,所以0
19、1 EAEB,即0)55(522，解得5451.即实数的取值范围是54,51.（2）当52时，)2,0,2(EB,)3,3,2(1EA.设平面1BEA 的一个法向量为),(1zyxn，由,0,0111EAnEBn得,0332,022zyxzx取1x，得1,35zy.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！所以平面1BEA 的一个法向量为)1,35,1(1 n.易知，平面11BBA的一个法向量为)0,0,1(2 n.因为434339431,cos212121nnnnnn，从而43433cos.20.解：（1）因为位于 y 轴左侧的圆C 与 y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C
20、 在直线1y 上设圆 C 与 x 轴的交点分别为 A、B，由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2 1:得23ACB，所 以2CACB，圆 心 C 的 坐 标 为(2,1)，所 以 圆 C 的 方 程 为22(2)(1)4xy.4 分（2）当1t 时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1ymx，由221,(2)(1)4ymxxy得0,1xy或2224,141.1xmmmym 不妨令222441(,),(0,1)11mmMNmm，因为以 MN 为直径的圆恰好经过原点O，所以2222244141(,)(0,1)0111mmmmOM ONmmm，解得23m，所以所求直线l 方程为(23
21、)1yx 或(23)1yx（3）设直线 MO 的方程为 ykx，由题意知，22121kk，解之得34k，同理得，134k，解之得43k-或 0k由（2）知，=0k也满足题意所以 k 的取值范围是43(,0,34.21.解：（1）因为1()2fxaxx，所以()f x 在点(e,(e)f处的切线的斜率为12kaee，所以()f x 在点(,()e f e处的切线方程为21(2)()1yaexeaee，整理得11(2)()22eyaexe，所以切线恒过定点1(,)2 2e（2）令xaxxaxfxfxpln2)21()()()(220，对(1,)x 恒成立，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版
22、权所有，侵权必究！因为21(21)21(1)(21)1()(21)2axaxxaxp xaxaxxx（*）当 112a 时，有2121xa11 x，即 112a 时，在（2x，+）上有()0p x，此时)(xp在区间2(,)x 上是增函数，并且在该区间上有)(xp2(),)p x，不合题意；当1a 时，有2121xa11 x，同理可知，)(xp在区间(1,)上，有)(xp(1),)p，也不合题意；当12a 时，有 210a ，此时在区间(1,)上恒有()0p x，从而)(xp在区间(1,)上是减函数；要使0)(xp在此区间上恒成立，只须满足021)1(ap12a，所以1122a综上可知 a 的
23、范围是1 1,2 2（3）当23a 时，2214()23fxxx，21145()ln639fxxxx，记22115()()ln,(1,)39yfxf xxx x 因为225650399xxyxx，所以21()()yfxf x在(1,)上为增函数，所以21211()()(1)(1)3fxf xff，设11()()(01)3R xf x,则12()()()f xR xfx,所以在区间1,上，满足12()()()fxg xfx恒成立的函数()g x 有无穷多个22.证明：设 F 为 AD 延长线上一点因为DCBA,四点共圆，所以CDFABC.又ACAB,所以ACBABC,且ACBADB,所以CDFA
24、DB，对顶角ADBEDF，故CDFEDF，即 AD 的延长线平分CDE.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！23.解析：（1）曲线16)2()1(:22yxC，直线,235,213:tytxl（t 为参数）.（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得03)332(2tt.设21,tt是方程的两个根，则321tt，所以32121ttttPBPA.24.解析：（1）由柯西不等式得25)5()()12()52(22222xxxx.所以552)(xxxf，当且仅当152xx，即4x时等号成立.（2）关于 x 的不等式2)(mxf恒成立，等价于52 m，解得7m或3m.故 m 的取值范围为),73,(m
