1、第4节万有引力理论的成就学习目标核心提炼1.了解万有引力定律在天文学上的应用。2个应用测天体质量、发现未知天体1个基本思路万有引力提供向心力2个重要关系2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。一、天体质量的计算阅读教材第4142页“科学真是迷人”及“计算天体的质量”部分，知道利用g、R和G计算地球质量的方法，知道利用T、r和G计算太阳质量的方法。1地球质量的计算(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。(2)关系式：mgG。(3)结果：M，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。2太
2、阳质量的计算(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。(2)关系式：Gmr。(3)结论：M，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M。思维拓展如图1所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量。图1(1)卡文迪许测出G后，他是怎样“称量”地球的质量的呢？(2)已知地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半径R6.4106 m，引力常量G6.671011
3、 Nm2/kg2，试估算地球的质量。答案(1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即mgG，解得地球的质量M，只要测出G、g、R来，便可“称量”地球的质量。(2)M kg 6.01024 kg。二、发现未知天体阅读教材第4243页“发现未知天体”部分，知道发现未知天体的几个史实及所用到的理论依据。1海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。2其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、
4、阋神星等几个较大的天体。思考判断1天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。()2海王星的发现确立了万有引力定律的地位。()3牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。()预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3天体质量和密度的计算要点归纳1天体质量的计算“自力更生法”“借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgG行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Gm或Gm2r或Gmr结果天体(如地球)质量：M中心天体质量：M或M或M2.天体密度的计算(1
5、)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度，将质量代入可求得密度。(2)特殊情况卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度，将M代入得：。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则。已知天体表面的重力加速度为g，则。精典示例例1 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：(1)该星球表面的重力加速度。(2)该星球的平均密度。解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有Lvt，hgt2，解得g。(2)在星球表面满足mg又
6、MR3，解得。答案(1)(2)【误区警示】求解天体质量的注意事项(1)计算天体质量的方法：M和M。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有Rr。针对训练1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()A.B1C5 D10解析根据Gmr得M，代入数据得恒星与太阳的质量比约为1.0
7、4，所以B项正确。答案B天体运动的分析与计算要点归纳1解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：Gma，式中a是向心加速度。2常用的关系式(1)Gmm2rmr。(2)mgG即gR2GM，该公式通常被称为黄金代换式。3四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由Gm得v，r越大，v越小。(2)由Gm2r得，r越大，越小。(3)由Gmr得T2，r越大，T越大。(4)由Gman得an，r越大，an越小。以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。精典示例例2
8、 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，具轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km。1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()图2Aa2a1a3Ba3a2a1Ca3a1a2Da1a2a3解析东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同，东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随
9、地球自转的物体的半径，由a2r得a2a3，东方红一号和东方红二号由万有引力提供向心力：Gma，结合二者离地面的高度可得a1a2，选D。答案D针对训练2 (多选)如图3所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则()图3Ab所需向心力最小Bb、c的周期相同且大于a的周期Cb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Db、c的线速度大小相等，且小于a的线速度解析因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而b所受的引力最小，故A正确；由man得，an，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，
10、C错误；由得，T2，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由Gm得，v，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。答案ABD1(万有引力提供向心力)(2017郑州高一检测)若太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视为半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()AGMBGMCGMDGM解析行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，有Gmr，所以GM，选项A正确。答案A2(重力加速度的估算)(2017宁波高一检测)若某黑洞的半径R约45 k
11、m，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A108 m/s2B1010 m/s2C1012 m/s2D1014 m/s2解析黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m的物体有：F万Gmg，又有，联立解得g，代入数据得重力加速度g1012 m/s2，C项正确。答案C3(星球表面重力加速度的计算)(2017济宁高一检测)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为()A0.2gB0.4gC2.5gD5g解析由星球表面的物体所受的重力近似等于万有
12、引力知，对火星上的物体，m1g火对地球上的物体，m2g联立式得0.4，则g火0.4 g。答案B4(天体密度的计算)(2017石家庄高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A.B.C.D.解析在地球两极处，Gmg0；在赤道处，GmgmR，故R，则，B正确。答案B5(天体质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。求：(1)该天体的密度；(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动
13、的周期为T2，该天体密度的另一表达式。解析(1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有GmR，M，根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有Gm(Rh)M答案(1)(2)基础过关1有两个行星A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星A、B的密度之比()A11 B21C12 D无法计算答案A2(2017衡水高一检测)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G6.671011Nm2/kg2，月球半径约为1.741
14、03 km。利用以上数据估算月球的质量约为()A8.11010 kg B7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kg解析“嫦娥一号”围绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：Gm(hR)，则M(hR)3，代入数据解得M7.41022 kg，D对。答案D3若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为()A.B.C.D.解析无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为Gmr，即M，所以，选项A正确。答案A4人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则
15、()AvBvCvDv解析人造卫星的轨道半径为2R，所以Gm，又因为mgG，联立可得：v，选项D正确。答案D5一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.B.C.D.解析由Nmg得g。在行星表面Gmg，卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则Gm，联立以上各式得M，故选B。答案B6所有绕太阳运转的行星，其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即k，那么k的大小决定于()A只与行星质量有关B只与恒星质量有关C与行星及恒星的质量都有关D与恒星
16、质量及行星的速率有关解析由mr得k，所以k的大小只与恒星质量有关，B正确。答案B能力提升7(多选)(2017洛阳高一检测)设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比()A地球与月球间的万有引力将变小B地球与月球间的万有引力将变大C月球绕地球运动的周期将变长D月球绕地球运动的周期将变短解析设地、月间的距离为r，它们的质量分别为M、m，则它们之间的引力大小FG，随着矿藏的开发，M变大，m变小，Mm变小，地、月间的万有引力变小，故A正确，B错误；由Gmr得周期T2，由于M变大，故月球绕地球运动的周期变
17、小，C错误，D正确。答案AD8(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系是()A这两颗恒星的质量必定相等B这两颗恒星的质量之和为C这两颗恒星的质量之比为m1m2R2R1D其中必有一颗恒星的质量为解析两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得Gm1R1m2R2，所以两星的质量之比m1m2R2R1，C正确；由上式可得m1，m2，D正确，A错误；m1m2，B正确。答案BCD9.如图1所示，两个星球A、B组成双星
18、系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G。求(其中L为两星球中心间的距离，T为两星球的运动周期)。图1解析设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB。则rArBL，对星球A：GmArA对星球B：GmBrB联立以上三式求得答案10某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？解析星球表面的重力加速度：g人造星体靠近该星球表面运转时：mgm所以v答案11如图2所示为中国月球探测工程的标志，它以中
19、国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：图2(1)月球表面的重力加速度g月；(2)月球的质量M；(3)环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率v是多少？解析(1)取水平抛出的物体为研究对象，有hg月t2，xv0t，联立解得g月。(2)取月球表面的物体m为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即mg月，得M。(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动半径为R，万有引力提供向心力，故有(m为飞船质量)，所以v。答案(1)(2)(3)
