1、第2课时集合的表示方法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握集合的两种表示方法(重点)2掌握区间的概念及表示方法(重点)1.借助空集，区间的概念，培养数学抽象的素养2通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.1集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法思考1：观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两
2、个集合？提示：用列举法表示(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为x|p(x)这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法思考2：观察下列集合：(1)不等式x23的解集；(2)函数yx21的图像上的所有点问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法2区间的概念 设a，b是两个实数，且ab：(1)集合x|axb可简写为a，b，并称为闭区间；(2)集合x|axb可简写为(a，b)，并称为开区间；
3、(3)集合x|axb可简写为a，b)，集合x|axb可简写为(a，b，并都称为半开半闭区间；(4)用“”表示正无穷大，用“”表示负无穷大，实数集R可以用区间表示为(，)；(5)满足不等式xa，xa和xb，xb的实数x的集合用区间分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)1下列判断错误的是()A方程x29的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示B不大于2 020的自然数构成的集合是无限集C集合A是空集Dxx2 00BA.正确；方程x29的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示，即Ax|x293,3B错误；因为不大于2 020的自然数依次为0,1,2，2 020，共有2 021个，所以构成的
4、集合是有限集C正确；因为0的倒数不存在，任何非零实数的倒数都不是0，所以集合A是空集D正确，x2 0，可得x0，故选B.2把集合x|x23x20用列举法表示为()Ax1，x2Bx|x1，x2C x23x20 D1,2 D解方程x23x20可得x1或x2，故集 合x|x23x20用列举法可表示为1,23用区间表示下列数集(1)x|x2_；(2)x|3x4_.答案2，)(2)(3,44用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合解(1)偶数可用式子x2n(nZ)表示，但此题要求为正偶数，故限定nN*，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN*(2)坐标轴上的点(x
5、，y)的特点是横、纵坐 标中至少有一个为0，即xy0，故坐标轴上的点的集合可表示为(x，y)|xy0. 用列举法表示集合【例1】(1)若集合A(1,2)，(3,4)，则集合A中元素的个数是()A1B2C3D4(2)用列举法表示下列集合不大于10的非负偶数组成的集合；方程x2x的所有实数解组成的集合；直线y2x1与y轴的交点所组成的集合；方程组的解(1)B集合A(1,2)，(3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4)选B.(2)解因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10方程x2x的解是x0或x1，所以方程的解组成的集合为0,
6、1将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是(0,1)解方程组得用列举法表示方程组的解集为(0,1)用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用大括号括起来.1已知集合A2，1,0,1,2,3，对任意aA，有|a|B，且B中只有4个元素，求集合B.解对任意aA，有|a|B，因为集合A2，1,0,1,2,3，由1，2,0,1,2,3A，知0,1,2,3B.又因为B中只有4个元素，所以B0,1,2,3用描述法表示集合【例2】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x220的所有实数根组成的集合；(2)由
7、大于10小于20的所有整数组成的集合解(1)设方程x220的实数根为x，并且满足条件x220，因此，用描述法表示为AxR|x220方程x220有两个实数根，因此，用列举法表示为A，(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件xZ，且10x20.因此，用描述法表示为BxZ|10x20大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B11,12,13,14,15,16,17,18,19集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从
8、而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.2用描述法表示下列集合：(1)方程x2y24x6y130的解集；(2)二次函数yx210图像上的所有点组成的集合解(1)方程x2y24x6y130可化为(x2)2(y3)20，解得x2，y3.所以方程的解集为(x，y)|x2，y3(2)“二次函数yx210图像上的所有点”用描述法表示为(x，y)|yx210集合的表示法的应用角度一 方程、不等式问题【例3】若集合Ax|ax2ax10只有一个元素，则a()A. 4 B. 0 C. 4 D. 0或4A依题意，得关于x的方程ax2ax10只有一个实根，所以即解得a4，选A.在集合的表示方法中，经常利用核心
9、素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.3若集合Ax|ax2ax10，xR不含有任何元素，则实数a的取值范围是_0,4)当a0时，原方程可化为10，显然方程无解，当a0时，一元二次方程ax2ax10无实数解，则需a24a0，即a(a4)0，依题意，得或解得0a4，综上，得0a4.角度二对参数分类讨论问题【例4】 已知集合Ax|ax22x10，aR(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围解(1)由题意知，A中有且只有一个元素，即对应方程ax22x10有且只有一根或有两个相等的实根当a0时，对应方程为一次方程，此时A，符合
10、题意；当a0时，对应方程ax22x10有两个相等实根，即44a0，a1，符合题意综上所述，a的取值集合为0,1(2)由题意知，A中至多有一个元素，即对应方程ax22x10无根或只有一根，由(1)知，当a0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；当44a0，即a1时，对应方程ax22x10无实根，即A中无元素，符合题意综上所述，a的取值范围为a|a0或a1识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如x|p(x)表示数集，(x，y)|yp(x)表示点集.(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).提醒：一般地，集合x|f(x)0表示方程f(x)0的解集；,x|f(x)0表示不等式f(x
11、)0的解集；,x|yf(x)表示yf(x)中x的取值的集合；,y|yf(x)表示yf(x)中y的取值的集合.4若Ax|ax22x10，aR，求a的取值范围解因为A，则集合A无元素，即关于x的方程ax22x10无实数解，所以a0，且0，即解得a1，所以a的取值范围为a|a1 1与0的区别(1)是不含任何元素的集合；(2)0是含有一个元素的集合2在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示
12、3在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑4关于无穷大的两点说明(1)是一个符号，而不是一个数；(2)以“”或“”为区间的一端时，这一端必须用小括号1下列说法正确的是()A0B0C中元素的个数为0 D没有子集C空集是不含任何元素的集合，故中元素的个数为0.2已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3C5 D9Cxy2，1,0,1,23集合(x，y)|y2x1表示()A方程y2x1B点(x，y)C平面直角坐标系中的所有点组成的集合D函数y2x1图像上的所有点组成的集合D集合(x，y)|y2x1的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y2x1，因此集合表示的是满足关系式y2x1的点组成的集合，故选D.4用区间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|21且x2_.答案(1)1，)(2)(2,4(3)(1,2)(2，)
