1、1964年普通高等学校招生全国统一考试数学1化简解：原式= P B D A 2甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走米，10分钟后，甲看P在北度西，乙看P在北度东，求PD解：设乙的速度为，则甲的速度为在直角PBD中，在直角PAD中，3解方程并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点解： Y B A O X C D 在复平面内（x为实轴，y为虚轴）分别用A、B、C、D四点来表示四个根x1、x2、x3、x4（如图）即A（），B（），C（），D（）A、B关于y轴对称，A、D关于x轴对称，A=900，同理，B=C=D=900且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=ABCD是正
2、方形，而A、B、C、D是顶点4求证：在ABC中，证：设R为ABC的外接圆的半径，则由正弦定理可得，代入余弦定理中，则可得5已知的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n.解：设方程的三根为由根与系数的关系及题设有由（4）-2（2）得（1）式平方得（5）+（6）得由（4）得由（1）得故m=0,n=2.6圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD，求AB间的距离解：将圆台补成圆锥体（如图） S S r O1 D C R A B O 设其顶点为S 设SD=，则又因ABAB=SAB为等边三角形，AB=90（cm），即
3、AB间的距离为90cm.7已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N，又知A、B、C、D在M内的射影A1B1C1D1是一条直线，在N内的射影A2B2C2D2是一个平行四边形，求证ABCD是一个平行四边形证：1）先证A、B、C、D四点共面 C1 D1 D B1 C A1 A D2 B M C2 N A2 B2 设通过直线A1B1C1D1而垂直于平面M的平面为P则因AA1平面M，而A1又在直线A1B1C1D1上，所以点A在平面P内，同理点B、C、D均在平面P内，即A、B、C、D四点共面2）证ABCD是一个平行四边形若AB与DC相交于E，则其在平面N内的射影A2B2与D2C2也相交于E2，此与A2B2
4、D2C2的假设相违，所以ABDC，同理ADBC故ABCD是一个平行四边形8如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆（1）求这两个内切圆的半径之和（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？解：（1）由图知CEO1=900，CE=O1E=R12R12=CO12， D C O1 R1 E O2 R2 A B 同理AC=AO2+O2O1+O1C=（R1+R2）+（R1+R2）=（R1+R2）又AB=1，AC=（R1+R2）=，R1+R2=（2）两圆面积之和S=当时，时 S最小。因R1的最大值为R1=，这时R2为最小值，
5、其值为R2=又当R2=时，R1有最小值R1=故当R1=（此时R2=）或R1=（此时R2=）时，S有最大值机动题（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？解：（1）如图，ABCD为矩形 D C R1 R2 O1 O2 G A B 设AB=，AD=作直角O1O2G则有（R1+R2）2=-（R1+R2）2+-（R1+R2）2解之，得R1+R2=（+）但+R1+R2 , R1+R2=（+）因两圆面积之和S=当R1或R2=min()时,S有最大值(2)如图，球O1和球O2外切，球O1和以C1为顶的三面角的三个面相切，球O2和以A为顶的三面角的三个面相切 D1 C1 A1 B1 O1 D C O2 A B （设棱长为1）同前类似可计算出 AO2=R2， C1O1=R1， R1+R2=两球的体积和V=当，即R1=R2时 ，V有最小值。当，时V有最大值。注：在（1）中的必须限制为否则在矩形内之二圆无法相切
