1、专题8 概率与统计第35练“排列、组合”常考问题题型分析高考展望该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.常考题型精析 高考题型精练 题型一 排列问题 题型二 组合问题 题型三 排列与组合的综合应用问题 常考题型精析 题型一 排列问题 例1(1)(2015广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字做答).解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业
2、留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A24040391 560 条毕业留言.1 560(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为_.解析 方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A 种站法；25第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A 种站法.由分步乘法计数原理，知共有480(种)不同的站法.44A25A44方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步
3、，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A 种站法；第 2 步，余下 5 人站在剩下 5 个位置上，有 A55种站法.14由分步乘法计数原理，知共有 A14A55480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6 人没有限制的排队有 A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A 种站法，因此符合条件的不同站法共有 A662A55480(种).55答案 480 点评 求解排列问题的常用方法：(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1(1)(2014辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不
4、相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24 解析 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3443224.D(2)(2015四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个 C.96个D.72个解析 由题意，首位数字只能是4,5，若万位是 5，则有 3A3472 个；若万位是 4，则有 2A34个48 个，故比40 000大的偶数共有7248120个.选B.B题型二 组合问题 例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地
5、执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；解 方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：有 2 名外籍队员，共有 C37C24种组队方法；有 3 名外籍队员，共有 C27C34种组队方法；有 4 名外籍队员，共有 C17C44种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有 2 名外籍搜救队队员共有C37C24C27C34C17C44301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：只有 1 名外籍搜救队队员，共有 C47C14种
6、组队方法；没有外籍搜救队队员，共有 C57C04种组队方法.所以至少有 2 名外籍搜救队队员共有 C511C47C14C57C04301(种)不同的组队方法.(2)至多有3名外籍搜救队队员.解 方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：有 3 名外籍搜救队队员，共有 C27C34种方法；有 2 名外籍搜救队队员，共有 C37C24种方法；有 1 名外籍搜救队队员，共有 C47C14种方法；没有外籍搜救队队员，共有 C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有 3 名外籍搜救队队员共有C27C34C37C24C47C14C57455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题
7、意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有 4 名外籍搜救队队员，共有 C17C44种组队方法，所以至少有 3 名外籍搜救队队员共有 C511C17C44455(种)不同组队方法.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2(1)(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答)解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、
8、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 种分法；44另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给 4 人有 A24种分法，所以不同获奖情况种数为 A44C23A24243660.答案 60(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_.(用数字作答)解析 分三类：选1名骨科医生，则有 C13(C14C35C24C25C34C15)360(种).选 2 名骨科医生，则有 C23(C14C25C24C15)210(种)；选 3 名骨科医生，则有 C33C14C1520(种)
9、.骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.答案 90 题型三 排列与组合的综合应用问题 例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？解 为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C14C24C13A22144(种).(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？解“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个
10、盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解 确定 2 个空盒有 C24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有 C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22 A22种方法.故共有 C24(C34C11A22C24C22A22 A22)84(种).点评(1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，
11、分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3(1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有_种.(用数字作答)解析 分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有：2(A22A33C13A33A22C23A44A55)480.480(2)(2014广东)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi 1,0,1，i 1,2,3,4,5，那 么集合 A中满 足条 件“1|x1|x2|
12、x3|x4|x5|3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130 解析 在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi 1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件 1|x1|x2|x3|x4|x5|3 的可能情况有“一个 1(或1)，四个 0，有 C152 种；两个 1(或1)，三个 0，有 C252 种；一个1，一个 1，三个 0，有 A25种；两个 1(或1)，一个1(或 1)，两个 0，有 C25C132 种；三个 1(或1)，两个 0，有 C352 种.故共有C152C252A25C25C132C352130(种)，故选D.答案 D 高考题型精练 1234567891
13、011121.用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279 解析 无重复的三位数有：A39A12A29648 个.则有重复数字的三位数有：900648252个.B高考题型精练 1234567891011122.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20 解析 由于 lg alg blgab(a0，b0)，高考题型精练 123456789101112从 1,3,5,7,9 中任取两个作为ab有 A2520 种，又13与39相同，31与93相同
14、，lg alg b 的不同值的个数有 A25220218，选 C.答案 C 高考题型精练 1234567891011123.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A.33!B.3(3！)3 C.(3！)4D.9!解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.C高考题型精练 1234567891011124.若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种 解析 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在 5 个奇数 1,3,5,7,9 中，任意取 4
15、个，有 C455(种)；高考题型精练 123456789101112二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有560166(种).答案 D C25C24高考题型精练 1234567891011125.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.484 解析 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法264(种)；C1
16、4C212高考题型精练 123456789101112第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法 C3123C3422012208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有 264208472(种).答案 C 高考题型精练 1234567891011126.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A.96B.84 C.60D.48 高考题型精练 123456789101112解析 可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有431336(种)种法；当C与A所种花不同时，有432248(种)种法，由分类
17、加法计数原理知不同的种法总数为364884.答案 B 高考题型精练 1234567891011127.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_.解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 种分法，不同的分法种数共有 4A4496.4496高考题型精练 1234567891011128.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有_种.解析 可先排 C、D、E 三人，共 A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数
18、原理知满足条件的排法共有 A3560(种).60高考题型精练 1234567891011129.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在2015年国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为_.高考题型精练 123456789101112解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C 种不同的选法.在调查时，34“雾霾治理”的安排顺序有A 种可能情况，13其余3个热点的安排顺序有A 种，33故
19、不同调查顺序的种数为 C34A13A3372.答案 72 高考题型精练 12345678910111210.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,3 443,94 249 等.显 然 2 位 回 文 数 有 9 个，11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个.高考题型精练 123456789101112解析 从左右对称入手考虑.(1)4 位回文数第 1、4 位取同一个非零数有 C199(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有91090(个)，即4位
20、回文数有90个.(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n1(nN*)位回文数有910n个.答案(1)90(2)910n 高考题型精练 12345678910111211.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.解析 只有 1 名老队员的排法有 C12C23A3336 种；有 2 名老队员的排法有 C22C13C12A2212 种.所以共48种.48高考题型精练 12345678910111212
21、.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.高考题型精练 123456789101112当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A 12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；24高考题型精练 123456789101112当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有54480(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得，共有18080260(种)不同的涂法.
