1、第五篇 数 列(必修5)第 4 节 数列求和及综合应用 最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.返回导航返回导航提示：公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法【教材导读】数列求和有哪些方法？1数列求和的基本方法(1)公式法直接用等差、等比数列的求和公式求解(2)倒序相加法如果一个数列an满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前 n 项和，可用倒序相加法(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
2、一些项可以相互抵消，从而求得其和返回导航(4)分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加(5)并项求和法一个数列的前 n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用并项法求解(6)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的返回导航2数列应用题的常见模型(1)等差模型：当增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模
3、型：当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推模型：找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式，可由递推关系入手解决实际问题，该模型是递推模型等差模型、等比模型是该模型的两个特例返回导航【重要结论】1122232n216n(n1)(2n1)2132333n312n(n1)2.返回导航1已知an是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a4，a8 成等比数列，则()(A)a1d0，dS40(B)a1d0，dS40，dS40(D)a1d0返回导航B 解析：由 a24a3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得 d(5
4、d3a1)0，又 d0，所以 a153d，则 a1d53d20，又因为 S44a16d23d，所以 dS423d20，a1)loga11nloga(n1)logan返回导航(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等返回导航考查角度 3：错位相减法求和 已知首项都是 1 的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令 cnanbn，求数列cn的通项公式；(2)若 bn3n1，求数列an的前 n 项和 Sn.返回导航解析：(1)因为 an
5、bn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以an1bn1anbn2，即 cn1cn2.所以数列cn是首项 c11，公差 d2 的等差数列，故 cn2n1.(2)由 bn3n1 知 ancnbn(2n1)3n1，于是数列an的前 n 项和 Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以 Sn(n1)3n1.返回导航【反思归纳】错位相减法求和策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然
6、后作差求解(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解返回导航考点二 数列与函数、不等式的综合 已知an是由正整数组成的数列，a11，且点(an，an1)(nN*)在函数 yx21 的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b2n1.返回导航解：(1)由已知，得 an1an1，即 an1an1，又 a11，所以数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列故an1(n1)1n.
7、(2)由(1)，知 ann，从而 bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n22112n12 2n1.因为 bnbn2b2n1(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)52n42n2n0，所以 bnbn2b2n1.返回导航【反思归纳】(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象；已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)数列与不等式的恒成立问题此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题(3)与数列有关的不等式证明问题
8、解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等返回导航【即时训练】已知函数 f(x)4x21x(x0)，在由正数组成的数列an中，a11，1an1f(an)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)在数列bn中，对任意正整数 n，bn3n1a2nna2n1 都成立，设Sn 为数列bn的前 n 项和，Tn4n2n4n24n1，试比较 Sn 与 Tn 的大小返回导航解：(1)由题意 1an1 4a2n1an，1a2n14a2n1a2n 1a2n4，数列1a2n 是公差为 4 的等差数列又 1a211，1a2n1(n1)44n3，an14n3(nN*)返回导航(2)3n
9、1a2nna2n3n114n3n14n34n21，bn14n211212n112n1，Sn12113131512n112n112112n1 n2n1.又 Tn4n2n4n24n1n4n12n12n2n12n12n2n1，TnSn.返回导航数列的综合问题(2015 高考新课标全国卷)Sn 为数列an的前 n 项和，已知an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和返回导航审题点拨关键点所获信息an0解题中注意范围及应用a2n2an4Sn3利用关系式 anSnSn1(n2)解决求an的通项公式bn1anan1，求bn的前 n 项和利用裂项
10、相消法求解解题突破：(1)中利用 an 与 Sn 的关系，消去 Sn，对所得等式进行分解因式，可得an为等差数列，再由条件式求出 a1，可得 an.(2)中利用裂项相消法求解即可.返回导航满分展示：解：(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由于 an0，可得 an1an2.2 分又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.4 分所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，5 分通项公式为 an2n1.6 分返回导航(2)由 an2n1 可知bn1anan112n12n31212n112n3.9 分设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn121315151712n112n3n32n3.12 分返回导航答题模板：第一步：由条件等式确定数列an是一个特殊数列(等差或等比数列)第二步：由条件确定首项 a1.第三步：确定数列an的通项公式及bn的通项公式第四步：根据数列bn的通项公式特点，求数列bn的前 n 项和 返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
