1、目标导航1了解二元一次方程与直线的对应关系(易混点)2掌握直线方程的一般式(重点)3能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化(难点)1 新知识预习探究 知识点一直线的一般式方程1.定义：关于 x，y 的二元一次方程(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式2适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示3系数的几何意义：(1)当 B0 时，则ABk(斜率)，CBb(y 轴上的截距)；(2)当 B0，A0 时，则CAa(x 轴上的截距)，此时不存在斜率AxByC0【练习 1】直线 l 的方程为 AxByC0，若 l 过原点和第二、四象限，则()AC0 且
2、B0BC0，B0，A0CC0，AB0DC0，AB0解析：显然 C0，由 AxBy0 且 l 过第二、四象限，kAB0，AB0.答案：D知识点二二元一次方程与直线的关系二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的【练习 2】直线(3 2)xy3 和直线 x(2 3)y2 的位置关系是()A相交不垂直 B垂直C平行D重合解析：两条直线的斜率分别为 2 3，13 2，而(23)13 21，所以两直线垂直答案：B2 新视点名师博客直线五种形式
3、方程的比较.3 新课堂互动探究 考点一求直线的一般式方程例 1 根据下列条件求解直线的一般式方程：(1)直线的斜率为 2，且经过点 A(1,3)；(2)斜率为 3，且在 y 轴上的截距为 4；(3)经过两点 A(2，3)，B(1，5)；(4)在 x，y 轴上的截距分别为 2，4.分析：先求出特殊式方程再化为一般式解析：(1)因为 k2，且经过点 A(1,3)，由直线的点斜式可得 y32(x1)，整理可得 2xy10，所以直线的一般式方程为 2xy10.(2)由直线的斜率 k 3，且在 y 轴上的截距为 4，故直线的斜截式为 y 3x4，整理可得直线的一般式方程为 3xy40.(3)由直线的两点
4、式可得 y353 x212，整理得直线的一般式方程为 2x3y130.(4)由直线的截距式可得x2 y41，整理得直线的一般式方程为2xy40.点评：利用直线的点斜式，斜截式、两点式，截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为 0 进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式变式探究 1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为 3，且经过点 A(5,3)；(2)过点 B(3,0)，且垂直于 x 轴；(3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为2；(4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴；(5)经过 C(1,5)，D(2，1)
5、两点；(6)在 x，y 轴上的截距分别是3，1.解析：(1)由点斜式方程得 y3 3(x5)，整理得 3xy35 30；(2)x3，即 x30；(3)由斜截式得 y4x2，即 4xy20；(4)y3，即 y30；(5)由两点式方程得 y515x121，整理得 2xy30；(6)由截距式得 x3 y11，整理得 x3y30.考点二平行垂直关系的应用例 2 (1)已知直线 l12x(m1)y40 与直线 l2mx3y20 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1(a2)x(1a)y10 与直线 l2(a1)x(2a3)y20 互相垂直？分析：转化为斜截式，由斜率关系求解解析：(1)方
6、法一：由 l12x(m1)y40.l2mx3y20.当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l1l2，需2mm13 42.解得 m2 或 m3.m 的值为 2 或3.方法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l1xy20，l23x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l1l2.同理当 m2 时，l12x3y40，l22x3y20，l1 与 l2 不重合，l1l2，m 的值为 2 或3.(2)方法一：由题意，直线 l1l2，若 1a0，即 a1 时，直线 l13x10 与直线 l25y20，显然垂直若 2a30，即 a32时，直线 l1x5y20 或直线
7、l25x40 不垂直若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1a21a，k2 a12a3，当 l1l2 时，k1k21，即(a21a)(a12a3)1，所以 a1.综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.方法二：由直线 l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a1.将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.点评：(1)根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法：判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后则 k1k2，且 b1b2；若都不存在则还要判定不重合可直接采用如下方法：一般地，设直线 l1A1xB1
8、yC10，l2A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且 B1C2B2C10，或 A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周造成失误的可能性(2)根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：若一个斜率为零，另一个不存在则垂直若两个都存在斜率，化成斜截式后则 k1k21.一般地，设 l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20，第二种方法可避免讨论，减小失误变式探究 2 已知直线 l 的方程为 3x4y120，求直线 l的方程，l满足(1)过点(1,3)，且与 l 平行；(2)过点(1,3)，且与 l 垂直解析：
9、方法一：由题设 l 的方程可化为：y34x3，l 的斜率为34，(1)由 l与 l 平行，l的斜率为34.又l过(1,3)，由点斜式知方程为y334(x1)，即 3x4y90.(2)由 l与 l 垂直，l的斜率为43，又过(1,3)，由点斜式可得方程为y343(x1)，即 4x3y130.方法二：(1)由 l与 l 平行，可设 l的方程为 3x4ym0.将点(1,3)代入上式得 m9.所求直线方程为 3x4y90.(2)由 l与 l 垂直，可设其方程为 4x3yn0.将(1,3)代入上式得 n13.所求直线方程为 4x3y130.考点三直线一般式方程的综合应用例 3已知直线 l5ax5ya30
10、.(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围分析：将一般式方程化为斜截式，数形结合求解解析：(1)证明：将直线 l 的方程整理为 y35ax15，直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(15，35)，而点 A(15，35)在第一象限内，故不论 a 为何值，l 恒过第一象限(2)直线 OA 的斜率为 k3501503.如图所示，要使 l 不经过第二象限，需斜率 akOA3，a3.点评：含有一个参数的直线方程，一般都表示过定点的直线，解题时通过提取参数，将一般式化为点斜式，其中参数出现在斜率位置，这样不难写出直线所过的定点变式探究 3 设
11、直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别确定 m 的值(1)l 在 x 轴上的截距是3；(2)l 的斜率是1.解析：(1)由题意得，2m6m22m33，m53.(2)由题意得，m22m32m2m11.m2(m1 舍去).4 新思维随堂自测1.直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 垂直，则 l 的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：设所求直线方程为 3x2ym0，把点(1，2)代入可解得 m1.答案：A2若直线 l1：ax(1a)y3 与 l2：(a1)x(2a3)y2 互相垂直，则 a 的值为()A3 B1C0
12、 或32 D1 或3解析：l1l2，a(a1)(1a)(2a3)0，即 a22a30，故 a1 或3.答案：D3直线 3x4yk0 在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数 k_.解析：将直线方程化成截距式求解直线方程可化为 xk3yk41，由k3k42，得 k24.答案：244斜率为 2，且经过点 A(1,3)的直线的一般式方程为_解析：由直线点斜式方程可得 y32(x1)，化成一般式为 2xy10.答案：2xy105(1)已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点 D 的坐标；(2)已知四点 A(5,3)，B(10,6)，C(3，4)，D(6,11)，求证：ABCD；(3)已知直线 l1 的斜率为 k134，直线 l2 经过点 A(3a，2)，B(0，a21)，且 l1l2，求实数 a 的值解析：(1)设 D(m，n)，由题意得 ABDC，ADBC，则有 kABkDC，kADkBC，01103n4m，n1m03041，解得 m3，n4，D(3,4)(2)由斜率公式，得kAB 6310535，kCD11463 53，则kABkCD1，ABCD.(3)l1l2，k1k21，即34a21203a1，解得 a1 或 a3，a1 或 a3 时，l1l2.
