1、3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生数学运算的核心素养2借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然后分别从椭圆为封闭曲线，即范围入手讲出椭圆的范围，对称性，离心率等问题1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1
2、(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率(2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？提示不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的
3、扁圆程度1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()提示(1)(2)(3)2经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A1B1C1D1A由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a3，b2，故椭圆的标准方程为1.3椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是_x21依题意得2a4b，c，又a2b2c2，a2，b1，故椭圆的标准方程为x21.4设椭圆1(0b5)的长轴长、短轴长、焦距成
4、等差数列，则离心率的值为_由条件知252c4b，即2bc5，又a2b2c2，a5解得b4，c3.离心率e.由椭圆方程研究几何性质【例1】(1)椭圆1(ab0)与椭圆(0且1)有()A相同的焦点B相同的顶点C相同的离心率D相同的长、短轴(2)求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标(1)C在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.(2)解把已知方程化成标准方程为1，所以a4，b3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6；离心率e；两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶
5、点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3)1本例(1)中把方程“(0且1)”改为“1(0)”，结果会怎样呢？A由于ab，方程1中，c2(a2)(b2)a2b2.焦点与1(ab0)的焦点完全相同而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确2本例(2)中，把方程改为“16x29y2144”，结果又会怎样呢？解把方程16x29y2144化为标准形式得1.知椭圆的焦点在y轴上，这里a216，b29，c21697，所以椭圆16x29y2144的长轴长为2a248，短轴长为2b236，离心率：e，焦点坐标：，顶点坐标：(0，4)，(0,4)，(3,0)，(3,0)由标准方程研
6、究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.由几何性质求椭圆的方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同的离心率思路探究(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：
7、先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解法二：设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.(3)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23.故所
8、求椭圆的方程为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(ab0)有
9、相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)跟进训练1已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.综上所述，椭圆的标准方程为y21或1.法二：设椭圆方程为1(m0，n0，mn)，则由题意得或解得或所以椭圆的标准方程为y21或1.求椭圆的离心率探究问题1椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？提示离心率e，假设a固定，当e0时
10、，c0，因a2c2b2，则ba，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁2已知的值能求出离心率吗？提示可以e.3已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，又P(c，m)在椭圆上，1.将代入，得1，即e2，e.【例3】设椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使0，求椭圆的离心率e的取值范围思路探究由条件0，知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解解由题意知
11、PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2y2c2上又点P在椭圆上，所以圆x2y2c2与椭圆1有公共点连接OP(图略)，则易知0bca，所以b2c2a2，即a2c2c2a2.所以c2a2，所以e1.所以e.1本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为等边三角形时，即|PF1|PF2|F1F2|，又|PF1|a，a2c，故离心率e.2本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为等腰直角三角形时，F1PF290，这时|F1F2|PF1|，即2ca，离心率e.3把本例中条
12、件“使0”改为“使F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围解由题意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.e2，e.故椭圆的离心率的取值范围为.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围1对椭圆几何性质的几点解释(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离
13、心率决定椭圆的扁平程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质(2)如图所示，在OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或有关量为a|F2B2|，b|OB2|，c|OF2|，ecosOF2B2.(3)若椭圆的标准方程为1(ab0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别为最大和最小，且|A1F2|ac，|A2F2|ac.2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、
14、焦距1焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A1By21C1Dx21A依题意，得a2，ac3，故c1，b，故所求椭圆的标准方程是1.2已知实数1，m,9成等比数列，则椭圆y21的离心率为()ABC或D或A1，m,9成等比数列，m29.即m3或m3(舍)，这时c2312，即c.离心率e.故选A.焦点坐标分别为(0,6)，(0，6)3若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_由题意知0m2，且e211.所以m.4比较椭圆x29y236与1的形状，则_更扁(填序号)把x29y236化为标准形式1，离心率e1，而1的离心率e2，这里e2e1，故更扁5已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e.焦点坐标分别为(0,6)，(0，6)
