1、第1讲空间几何体中的计算问题一、选择题1.(2022重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2 B.C. D.解析该几何体由一个圆柱和一个半圆锥组成，其体积为V1221212.答案B2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2解析该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积S(2462343633)138(cm2)，故选D.答案D3.(2022福建卷)某几何体的三视图如图所示，
2、则该几何体的表面积等于()A.82 B.112C.142 D.15解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱.S表2(12)12121222112，故选B.答案B4.(2022全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2C.4 D.8解析由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成，2r2r2r2r2r24r24r25r21620，r2.答案B5.三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SAABBC1，则球O的表面积为()A. B.C.3 D.12
3、解析如图，因为ABBC，所以AC是ABC所在截面圆的直径，又因为SA平面ABC，所以SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径.由题设SAABBC1，由勾股定理可求得：AC，SC，所以球的半径R，所以球的表面积为43.答案C二、填空题6.(2022昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1，2，2，所以几何体的体积为8.答案7.(2022四川卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是A
4、B，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，VPA1MNVA1PMN，又AA1平面PMN，VA1PMNVAPMN，VAPMN1，故VPA1MN.答案8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_.解析利用三棱锥的体积公式直接求解.VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，则VD1EDFSACDD1D111.答案三、解答题9.(2022全国卷)如图，长
5、方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF.如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).10.已知一个圆
6、锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为，所以rRx，所以S圆柱侧2rx2Rxx2(0xH).(2)因为0，所以当x时，S圆柱侧最大.故当x，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.11.(2022全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.6
