1、2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的）1抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD2圆C1：（xm）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（ym）2=4内切，则m的值（）A2B1C2或1D2或13命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B若x2+y20，则x，y中至少有一个不为0C若x2+y20，则x，y都不为0D若x2+y2=0，则x，y都不为04已知F1、F2为双曲线C：x2y2=1的左、右焦点，点P在
2、C上，F1PF2=60，则|PF1|PF2|=（）A2B4C6D85对于抛物线C：x2=4y，我们称满足的点M（x0，y0）在抛物线的内部，则直线l：x0x=2（y+y0）与抛物线C公共点的个数是（）A0B1C2D1或26设F1是椭圆的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则的最大值为（）ABCD7过点（2，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD8设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD9设椭圆C： +=1（ab0）的左
3、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D若ADF1B，则椭圆C的离心率等于（）ABCD10已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，且最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为（）ABC（1，）D2，+）11如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（090）的平面所截，截面是一个椭圆当为30时，这个椭圆的离心率为（）ABCD12M是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，I是MF1F2的内心，延长MI交F1F2于N，则等于（）ABC2D1一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13
4、已知命题p，q，如果p是q的充分而不必要条件，那么p是q的条件14已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为15已知抛物线的方程是y2=2px（p0），其焦点是F，ABC的顶点都在抛物线上，直线AB，AC，BC斜率存在且满足=，则=16已知椭圆C： +（ab0），直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，F1PF2的重心为G，内心为I，且IGF1F2，则椭圆C的标准方程为二、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设命题p：xR，x2+xa，命
5、题q：xR，使x2+2ax+2a=0（1）写出两个命题的否定形式p和q；（2）若命题（p）q为假命题，求实数a的取值范围18已知圆心为C的圆过点A（0，6）和B（1，5），且圆心在直线l：xy+1=0上（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程19已知双曲线C：y2=1，P是C上的任意点（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值20已知椭圆的离心率为，设其左右焦点为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，三角形F1AB的周长为8（）求椭圆的标准方程；（）设O为坐标原点，若OAOB，求直
6、线l的方程21如图，已知抛物线C：y2=2px（p0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点（）求抛物线C的方程；（）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值22如图，以椭圆=1的右焦点F2为圆心，1c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T（）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OAOB，且|PT|（ac）恒成立，求直线l被圆F2
7、所截得弦长的最大值2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的）1抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD【考点】抛物线的简单性质【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C2圆C1：（xm）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（ym）2=4内切，则m的值（）A2B1C2或1D2或1【考点】圆与圆
8、的位置关系及其判定【分析】根据两个圆相内切，可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差，求得m的值【解答】解：由题意可得，两个圆的圆心分别为（m，2）、（1，m），半径分别为3、2，根据两个圆相内切，可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差，即=32，求得m=2，或m=1，故选：C3命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B若x2+y20，则x，y中至少有一个不为0C若x2+y20，则x，y都不为0D若x2+y2=0，则x，y都不为0【考点】四种命题【分析】直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可【解答】解：否命题是把原命题的条件否定做
9、条件，原命题的结论否定做结论，命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：若x2+y20，则x，y中至少有一个不为0故选：B4已知F1、F2为双曲线C：x2y2=1的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=60，则|PF1|PF2|=（）A2B4C6D8【考点】双曲线的定义；余弦定理【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|PF2|的值解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|PF2|的值【解答】解：法1由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|PF2|=4法2； 由焦点三角形面积公式得：|PF1|PF2
10、|=4；故选B5对于抛物线C：x2=4y，我们称满足的点M（x0，y0）在抛物线的内部，则直线l：x0x=2（y+y0）与抛物线C公共点的个数是（）A0B1C2D1或2【考点】抛物线的简单性质【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据，判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点【解答】解：由x2=4y与x0x=2（y+y0）联立，消去y，得x22x0x+4y0=0，=4x0244y0=4（x024y0），0，直线和抛物线无公共点故选A6设F1是椭圆的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则的最大值为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的标准方程求出F1的坐标（0，），设P（
11、x，y），求出向量的坐标，结合点P满足椭圆的方程，把数量积转化为关于P的横坐标的函数，利用配方法求得最大值【解答】解：由椭圆的标准方程知F1（0，），设P（x，y），则： =（x，y）（x，y）=1+y+y2=2y2，当y=2时，取最大值4+2故选：A7过点（2，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】当AOB面积取最大值时，OAOB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率【解答】解：当AOB面积取最大值时，OAOB，曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，圆心O（0，0），半
12、径r=，OA=OB=，AB=2，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x2），圆心（0，0）到直线l的距离d=1，解得k=，k0，k=故选：D8设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准
13、方程【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 =1，即 故选D9设椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D若ADF1B，则椭圆C的离心率等于（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用ADF1B，建立方程关系即可得到结论【解答】解：不妨
14、假设椭圆中的a=1，则F1（c，0），F2（c，0），当x=c时，由+=1得y=b2，即A（c，b2），B（c，b2），设D（0，m），F1，D，B三点共线，=，解得m=，即D（0，），若ADF1B，则kADkF1B=1，即=1，即3b4=4c2，则b2=2c=（1c2）=2c，即c2+2c=0，解得c=，则c=，a=1，离心率e=，故选B10已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，且最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为（）ABC（1，）D2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】设P（m，n），代入双曲线方程，又设F1（c，0），F2（c，0
15、），由向量的坐标运算和数量积的坐标表示，化简整理结合双曲线方程和性质，可得最小值为a2c2再由条件结合离心率公式，解不等式，即可得到离心率范围【解答】解：设P（m，n），则=1，即有m2=a2（1+），又设F1（c，0），F2（c，0），即有=（n，mc），=（n，cm），则=n2+m2c2=n2+a2（1+）c2=n2（1+）+a2c2a2c2（当n=0时取得等号）则有最小值为a2c2由题意可得c2a2c2c2，即有c2a2c2，即c，则有故选：B11如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（090）的平面所截，截面是一个椭圆当为30时，这个椭圆的离心率为（）ABCD【考点】平面与圆柱
16、面的截线【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为： =，a2=b2+c2，c=，椭圆的离心率为：e=故选：A12M是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，I是MF1F2的内心，延长MI交F1F2于N，则等于（）ABC2D1【考点】椭圆的简单性质【分析】由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解【解答】解：如图，连接IF1，IF2在MF1I中，F1I是MF1
17、N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理， =同理可得=，=；根据等比定理=故选：B一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知命题p，q，如果p是q的充分而不必要条件，那么p是q的必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】p是q的充分而不必要条件，利用集合之间的关系即可判断出p与q关系【解答】解：p是q的充分而不必要条件，那么p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分14已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为【考点】向量的加法及其几何意义【分析】可根据题意作出图形，设AB和OC交于D，从而有OCAB，而
18、根据可以得到，再设直线x+y=a与y轴交于点E，从而得到ODE为等腰直角三角形，并且OE=a，从而根据便可得出a的值【解答】解：如图，设OC交AB于D，则OCAB；，且；设直线x+y=a交y轴于E，则ODE为等腰直角三角形，OE=a；故答案为：15已知抛物线的方程是y2=2px（p0），其焦点是F，ABC的顶点都在抛物线上，直线AB，AC，BC斜率存在且满足=，则=0【考点】抛物线的简单性质【分析】由+=，可得ABC的重心是F，从而y1+y2+y3=0，利用斜率公式，即可求得结论【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1=，x2=，x3=则+
19、=，ABC的重心是F，抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F（，0），y1+y2+y3=0，=+=0故答案为：016已知椭圆C： +（ab0），直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，F1PF2的重心为G，内心为I，且IGF1F2，则椭圆C的标准方程为=1【考点】椭圆的简单性质【分析】设P（x0，y0），I（x1，y1），则G（，），由已知条件推导出a=2c，b=，由此能求出椭圆方程【解答】解：设P（x0，y0），I（x1，y1），则G（，）又IGF1F2，yI=，|F1F2|=2c，=|F1F2|y0|=（|F1F2|+|PF
20、1|+|PF2|）|2c=，故a=2c又直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，b=，a=2，c=1=1故答案为： =1二、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设命题p：xR，x2+xa，命题q：xR，使x2+2ax+2a=0（1）写出两个命题的否定形式p和q；（2）若命题（p）q为假命题，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）利用特称命题与全称命题的关系即可得出（2）：xR，x2+xa，可得：a（x2+x）min，利用二次函数的单调性即可得出命题q：xR，使x2+2ax+2a=0
21、，0，解出即可得出即可得出p，q命题（p）q为假命题，可得：p与q都为假命题，p与q都为真命题【解答】解：（1）p：x0，使得a；q：xR，x2+2ax+2a0（2）命题p：xR，x2+xa，x2+x=，a命题q：xR，使x2+2ax+2a=0，=4a24（2a）0，解得a1，或a2p：a；q：2a1命题（p）q为假命题，p与q都为假命题，p与q都为真命题，解得实数a的取值范围是18已知圆心为C的圆过点A（0，6）和B（1，5），且圆心在直线l：xy+1=0上（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）设圆的标准方程，用
22、待定系数的方法，求得圆的方程；（2）点斜式设出直线方程，圆心到切线的距离等于半径，得到方程，注意斜率不存在的情况【解答】（本小题12分）解：（1）设所求的圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2依题意得：解得：a=3，b=2，r2=25所以所求的圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2=25（2）设所求的切线方程的斜率为k，则切线方程为y8=k（x2），即kxy2k+8=0又圆心C（3，2）到切线的距离又由d=r，即，解得所求的切线方程为3x4y+26=0若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求综上所述，所求的切线方程为x=2或3x4y+26=019已知双曲线C：y2=1，P是C上的任意点（1）求
23、证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值【考点】双曲线的简单性质；两点间的距离公式【分析】（1）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，得P到两准线的距离之积满足，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到，命题得证（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|2=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值【解答】解：（1）设P（x0，y0），P到两准线的距离记为d1，d2两准线为x2y=0，x+2y=0.2.4又点P在曲线C上，=，得（常数）即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个
24、常数.6（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得|PA|2=8，可得=|PA|2=.9又点P在双曲线上，满足|x0|2，当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2.1220已知椭圆的离心率为，设其左右焦点为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，三角形F1AB的周长为8（）求椭圆的标准方程；（）设O为坐标原点，若OAOB，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知求出a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（）当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，写出直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出A，
25、B横纵坐标的乘积，结合OAOB求得k值，则直线l的方程可求【解答】解：（）由题意可得4a=8，a=2，又，得c=，b2=a2c2=1，椭圆的标准方程为；（）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=，此时A（），B（），不满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=，联立，得设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=，OAOB，x1x2+y1y2=，解得：k=直线l的方程为：21如图，已知抛物线C：y2=2px（p0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点（）求抛物线C的方程；（）若A，B在x轴上方，且|OA|
26、=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）求出A的坐标，代入，即可求抛物线C的方程；（）求得直线MA的方程，可得N的坐标，即可证明直线BN的斜率为定值，并求出该定值【解答】（）解：由题意得当a=1时，点A坐标为，由题有，p=1抛物线C的方程为：y2=2x（）证明：由题，|OA|=|OM|，直线MA的方程为：y=，=，直线BN的斜率为定值，该定值为122如图，以椭圆=1的右焦点F2为圆心，1c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T（）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（）设圆F2
27、与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OAOB，且|PT|（ac）恒成立，求直线l被圆F2所截得弦长的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【分析】（）通过a=，求出c，得到椭圆的方程，P为椭圆的右顶点，利用勾股定理直接求切线长|PT|；（）当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，|PF2|min=ac，通过|PT|恒成立，求出，然后得（a2k2+1）x22a2k2x+a2k2a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理以及OAOB，可得直线l的方程，通过圆心F2（c，0）到直线l的距离，半径，弦长满足勾股定理，然后求解s的最大值【解答】（本题满分15分）解：（I）由得，则当P为椭圆的右顶点时，故此时的切线长（）当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=ac，由|PT|恒成立，得，则由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x1），代入得（a2k2+1）x22a2k2x+a2k2a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，可得=，又OAOB，则可得直线l的方程为axya=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离，半径r=1c则直线l被圆F2所截得弦长，设1c=t，则，又则当时的最小值为，即当时s的最大值为2017年1月15日
