1、第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)返回导航第11节 导数在研究函数中的应用 返回导航考点一 利用导数研究函数的极值问题考查角度 1：根据函数图象判断函数的极值情况第二课时 利用导数研究函数的极值与最值 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()(A)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)(B)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)(C)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)(D)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)返回导航D 解析：由题图可知，当 x
2、0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值故选 D.返回导航【反思归纳】知图判断函数值的情况先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号考查角度 2：求函数的极值 已知函数 f(x)x3x2（x1），aln x（x1）.(1)求 f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求 f(x)在1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值返回导航解析：(1)当 x1 时，f(x)3x22xx(3x2)，令 f(x)0，解得 x0 或 x23.当 x 变化时，f(x)，f(x)
3、的变化情况如下表：x(，0)00，232323，1f(x)00f(x)极小值极大值故当 x0 时，函数 f(x)取得极小值为 f(0)0，函数 f(x)的极大值点为 x23.返回导航(2)当1x1 时，由(1)知，函数 f(x)在1,0和23，1)上单调递减，在0，23上单调递增因为 f(1)2，f23 427，f(0)0，所以 f(x)在1,1)上的最大值为 2.当 1xe 时，f(x)aln x，当 a0 时，f(x)0；当 a0 时，f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e)a.故当 a2 时，f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a2 时，f(x)在1，e上
4、的最大值为 2.返回导航【反思归纳】已知函数求极值，求 f(x)求方程 f(x)0 的根，列表检验 f(x)在 f(x)0 的根的附近两侧的符号，下结论返回导航考查角度 3：利用单调性求值域(2016 高考全国卷)(1)讨论函数 f(x)x2x2ex 的单调性，并证明当 x0 时，(x2)exx20.(2)证明：当 a0,1)时，函数 g(x)exaxax2(x0)有最小值设g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域返回导航解：(1)f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)（x1）（x2）ex（x2）ex（x2）2x2ex（x2）20，当且仅当 x0 时，f(x)0，所以 f(x)
5、在(，2)，(2，)上单调递增因此当 x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.返回导航(2)g(x)（x2）exa（x2）x3x2x3(f(x)a)由(1)知，f(x)a 单调递增对任意的 a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一 xa(0,2，使得 f(xa)a0，即 g(xa)0.当 0 xxa 时，f(x)a0，g(x)xa 时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增返回导航因此 g(x)在 xxa 处取得最小值，最小值为g(xa)exaa（xa1）x2aexaf（xa）（xa1）x2a exaxa2.于是 h(a)exa
6、xa2.由exx2（x1）ex（x2）2 0，得 y exx2单调递增，所以，由 xa(0,2，得12 e002h(a)exaxa2 e222e24.返回导航因为 y exx2单调递增，对任意 12，e24，存在唯一的 xa(0,2，af(xa)0,1)，使得 h(a).所以 h(a)的值域是12，e24.综上，当 a0,1)时，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是12，e24.返回导航【反思归纳】导数作为一种工具，可以处理与函数有关的很多问题，如确定函数的单调性、极值与最值等，往往会和函数的相关知识、不等式的证明等综合，其实质是利用导数判断函数的单调性，再转化为相应的问题进行求解返回
7、导航考点二 运用导数解决函数的最值问题(1)已知 a，b 为正实数，函数 f(x)ax3bx2x 在0,1上的最大值为 4，则函数 f(x)在1,0上的最小值为()(A)32(B)32(C)2 (D)2(2)已知函数 f(x)1xx kln x，k1e，求函数 f(x)在1e，e上的最大值和最小值返回导航(1)A 解析：因为函数 f(x)ax3bx2x，所以 f(x)3ax2b2xln 2.又因为 a，b 为正实数，所以当 0 x1 时，3ax20,2xln 20，所以 f(x)0，即 f(x)在0,1上为增函数所以 f(1)最大且为 ab24，即 ab2.又当1x0 时，3ax20,2xln
8、 20，即 f(x)在1,0上为增函数，所以 f(1)最小且为(ab)12.所以函数 f(x)在1,0上的最小值为f(1)21232.返回导航(2)解析：因为 f(x)1xx kln x，所以 f(x)x（1x）x2kxkx1x2.若 k0，则 f(x)1x2在1e，e上恒有 f(x)0，所以 f(x)在1e，e上单调递减所以 f(x)minf(e)1ee，f(x)maxf(1e)e1.返回导航若 k0，f(x)kx1x2k（x1k）x2.()若 k0，则在1e，e上恒有k（x1k）x20，所以 f(x)在1e，e上单调递减所以 f(x)minf(e)1ee kln e1ek1，f(x)max
9、f(1e)ek1.返回导航()若 k0，由 k1e，得1ke，则 x1k0，所以k（x1k）x20，所以 f(x)在1e，e上单调递减所以 f(x)minf(e)1ee kln e1ek1，f(x)maxf(1e)ek1.综上，当 f(x)在1e，e 上，f(x)min1ek1，f(x)maxek1.返回导航【反思归纳】求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；(3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值返回导航【即时训练】已知函数 f(x)ax2b
10、xcex(a0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值返回导航解：(1)f(x)（2axb）ex（ax2bxc）ex（ex）2 ax2（2ab）xbcex.令 g(x)ax2(2ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且 f(x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以3x0 时，g(x)0，即 f(x)0，返回导航当 x3 或 x0 时，g(x)0，即 f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间是(3,0)，单调递减区间是(，3)，(0，)
11、(2)由(1)知，x3 是 f(x)的极小值点，所以有9a3bce3e3，g（0）bc0，g（3）9a3（2ab）bc0，返回导航解得 a1，b5，c5，所以 f(x)x25x5ex.因为 f(x)的单调递增区间是(3,0)，单调递减区间是(，3)，(0，)，所以 f(0)5 为函数 f(x)的极大值，故 f(x)在区间5，)上的最大值取 f(5)和 f(0)中的最大者，而 f(5)5e55e55f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.返回导航考点三 利用导数研究生活中的优化问题 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，返回导航左右两
12、端均为半球形，按照设计要求容器的体积为643 立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为 y 千元(1)将 y 表示成 r 的函数 f(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数 f(r)的单调性，并确定 r 和 l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用返回导航解析：(1)因为容器的体积为643 立方米，所以4r33 r2l643，解得l643r243r，所以圆柱的侧面积为 2rl2r643r243r 1283r 8r23，两端两个半球的表面积之和为 4r2，所以 yf(r)128
13、3r 8r2334r24128r8r2，又 l643r243r0r243，所以定义域为(0,243)返回导航(2)因为 y128r2 16rr3r2，所以令 y0，得 2r243；令 y0，得 0r2，当 r(2,243)时，f(r)为增函数，当 r(0,2)时，f(r)为减函数，所以当 r2，l83时，该容器的建造费用最小为 96 千元返回导航【反思归纳】利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合返回导航【即时训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时
14、的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 y1128 000 x3 380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？返回导航解：(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040 小时，共耗油100401128 000403 38040817.5(升)因此，当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油 17.5 升(2)当速度为 x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x 小时
15、，设耗油量为 h(x)升，依题意得 h(x)1128 000 x3 380 x8100 x11 280 x2800 x 154(0 x120)，返回导航h(x)x640800 x2 x3803640 x2(0 x120)令 h(x)0，得 x80.当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当 x80 时，h(x)取得极小值 h(80)11.25.易知 h(80)是 h(x)在(0,120上的最小值故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为 11.25 升返回导航抽象函数解不等式(2015 高考新课标全国卷)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导
16、函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0，则使得 f(x)0 成立的x 的取值范围是()(A)(，1)(0,1)(B)(1,0)(1，)(C)(，1)(1,0)(D)(0,1)(1，)返回导航审题指导关键点所获信息f(x)是奇函数f(1)0f(x)f(x)，f(1)0当 x0 时，xf(x)f(x)0构造 g(x)f（x）x，则 g(x)0 突破的方法画函数 g(x)f（x）x的图象求 x 的范围返回导航解析：因为当 x0 时 xf(x)f(x)0，所以 g(x)f（x）xxf（x）f（x）x20，g(x)f（x）x在(0，)上是减函数，因为 f(x)是奇函数，f(1)0，所以 f(1)0，返回导航因此 g(1)g(1)0，g(x)f（x）xf（x）xg(x)，g(x)是偶函数从图象上看，当 x(，1)时，g(x)0，当 x(1,0)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0；当 x(1，)时，g(x)0，f(x)0；综上，所求 x 的取值范围是(，1)(0,1)返回导航命题意图：(1)考查解抽象函数不等式的方法是构造函数，画出函数图象直观解出(2)画抽象函数图象要具备函数的单调性、对称性、奇偶性、零点、周期性等(3)若 xf(x)f(x)0，可构造函数 g(x)xf(x)返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
