1、第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)第 11 节 导数在研究函数中的应用 最新考纲1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3.会用导数解决实际问题.返回导航返回导航【教材导读】1若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0 吗？f(x)0是否是 f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数 f(x)在(a，b)内单调递增，
2、则 f(x)0，f(x)0 是 f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2f(x0)0 是可导函数 f(x)在 xx0 处取极值的什么条件？返回导航提示：必要不充分条件，因为当 f(x0)0 且 x0 左右两端的导数符号变化时，才能说 f(x)在 xx0 处取得极值反过来，如果可导函数 f(x)在 xx0 处取极值，则一定有 f(x0)0.1函数的单调性与导数(1)函数 yf(x)在某个区间内可导若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_；若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_；如果在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)为常函数(2)单调性的应用若函数 yf(x)在区间(a，b)
3、上单调，则 f(x)0，f(x)0(f(x)不恒等于 0)在(a，b)上恒成立返回导航单调递增单调递减2函数的极值与导数(1)函数极小值的概念函数 yf(x)在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小；f(a)0；在点 xa 附近的左侧_，右侧_；则点 a 叫做函数 yf(x)的_，f(a)叫做函数 yf(x)的_返回导航f(x)0极小值点极小值(2)函数极大值的概念函数 yf(x)在点 xb 处的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大；f(b)0；在点 xb 附近的左侧_，右侧_；则点 b 叫做函数 yf(x)的_，f(b)叫做函数 yf(x)的_
4、；极小值点与极大值点统称为_，极小值与极大值统称为_返回导航f(x)0f(x)0极大值点极大值极值点极点3函数的最值与导数求函数 yf(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求 yf(x)在(a，b)内的_；(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中_的一个为最大值，_的一个为最小值返回导航极值最大最小4利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域；(2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点；(4)确
5、定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答返回导航【重要结论】1若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在a，b内一定有最值2若函数 f(x)在a，b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值返回导航1函数 f(x)3xln x 的单调递减区间是()(A)1e，e (B)0，1e(C)，1e(D)1e，返回导航B 解析：f(x)ln xx1xln x1，令 f(x)ln x10 得 0 x0 是 f(x)为增函数的充要条件函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的函数的极大值不一定比极小值大对可导函数
6、 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值其中真命题是_(写出所有真命题的序号)返回导航解析：错误f(x)0 能推出 f(x)为增函数，反之不一定如函数 f(x)x3 在(，)上单调递增，但 f(x)0.所以 f(x)0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件错误一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个正确一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等返回导航错误对可导函数 f(x)，f(x0)0 只是 x0 点为极值点的必要条件，如 yx3 在 x0
7、时 f(0)0，而函数在 R 上为增函数，所以 0 不是极值点正确当函数仅在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值 返回导航答案：返回导航第一课时 利用导数研究函数的单调性 返回导航考点一 判断或证明函数的单调性 已知函数 f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中 g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴(1)确定 a 与 b 的关系；(2)若 a0，试讨论函数 g(x)的单调性解：(1)依题意得 g(x)ln xax2bx，则 g(x)1x2axb.由函数 g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴得：g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得
8、g(x)2ax2（2a1）x1x（2ax1）（x1）x.函数 g(x)的定义域为(0，)，当 a0 时，g(x)x1x.由 g(x)0 得 0 x1，由 g(x)0 得 x1，即函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；返回导航当 a0 时，令 g(x)0 得 x1 或 x 12a，若 12a1，即 a12，由 g(x)0 得 x1 或 0 x 12a，由 g(x)0 得 12ax1，即函数 g(x)在0，12a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减；若 12a1，即 0a12，由 g(x)0 得 x 12a或 0 x1，由 g(x)0得 1x 12a，即函数 g(x
9、)在(0,1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减；返回导航若 12a1，即 a12，在(0，)上恒有 g(x)0，即函数 g(x)在(0，)上单调递增综上可得：当 a0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 0a12时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在1，12a 上单调递减，在12a，上单调递增；当 a12时，函数 g(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 g(x)在0，12a 上单调递增，在12a，1 上单调递减，在(1，)上单调递增返回导航【反思归纳】导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f(x)；(2)确定
10、 f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0 时为增函数；f(x)0 或 f(x)0 或 f(x)0 或 f(x)0 时，f(x)0 的解集为a21a，f(x)0 的解集为，a21a，函数 f(x)的单调递增区间是a21a，单调递减区间是，a21a；当 a0 时，f(x)1，函数在(，)上单调递增；当 a0 时，a21a4，即 a24a10 时，f(x)在(4,4)内单调递增，解得 0a2 3或 a2 3.当 a0 时，函数在(4,4)内单调递增；当 a0 时，只要a21a4，即 a24a10，解得 a2 3或2 3a0.综上可知 a 的取值范围是(，2 32 3，2 32 3，
11、)返回导航导函数图象与原函数图象的关系教材源题：水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t的函数关系图象返回导航返回导航解：(1)(B)，(2)(A)，(3)(D)，(4)(C)【规律总结】若函数在某范围内导数的绝对值较大，则函数在这个范围内“增”或“减”得快，函数的图象比较“陡峭”，反之，函数的图象“平缓”返回导航【源题变式】已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()返回导航解析：由函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象先增后减，所以函数 yf(x)的图象的变化率也是先增后减，观察图象可得 B 正确故选 B.返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
