1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十四)平面向量的概念及线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015贵阳模拟)如图,正六边形ABCDEF中,+=()A.0B.C.D.【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以+=+=+=,故选D.2.(2015新余模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数,使a=b【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|
2、a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.(2015西安模拟)已知O,A,M,B为平面上四点,且=+(1-),实数(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,M,B一定共线【解析】选B.因为=+(1-),所以-=(-),所以=,又(1,2),所以点B在线段AM上.4.(2015皖西七校模拟)若直线l上不同的三个点A,B,C与直线l外一点O,使得x2+x=2成立,则满足条件的实数x的集合为()A.-1,0B.C.D.-1【解析】选D.由x2+x=2可得,=+,由
3、A,B,C共线知,+=1,解得x=-1或x=0(舍),故选D.【加固训练】已知ABC和点M满足+=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于ABC和点M满足+=0,则可知点M是三角形ABC的重心,设BC边的中点为D,则可知=(+)=(+),所以+=3,故m=3.5.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则ABM与ABC的面积比为()A.B.C.D.【解题提示】取AB的中点为D,利用已知5=+3转化为与之间的关系求解即可.【解析】选C.取AB的中点为D,则由5=+3得2=2+3(-),即2(-)=3(-),即2=3,又与有公共点M,故
4、D,M,C三点共线,且=,即ABM与ABC两高之比为35,故面积之比为.6.(2015萍乡模拟)如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为O是BC的中点,所以=(+).又因为=m,=n,所以=+.因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以m+n=2.7.已知D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选D.=a,=b,=+=-a-b,=+=a+b,=(+)=(-
5、a+b)=-a+b,所以+=-b-a+a+b+b-a=0.所以正确命题为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在ABCD中,=a,=b,3=,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)【解析】如图所示.=+=+=+(+)=+(+)=b-a-b=-a-b.答案:-a-b【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2015海口模拟)在ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=.【解析】
6、如图,因为在ABC中,=c,=b,且点D满足=2,所以+=2(+),=+=b+c.答案:b+c9.(2015南昌模拟)已知ABC内部的一点O,恰使+2+3=0,则OAB,OAC,OBC的面积之比为.(结果化为最简)【解析】因为+2+3=0,所以+2(+)=0,如图D,E分别是对应边的中点,由平行四边形法则知:2+4=0,即+2=0,所以O为三角形ABC中位线DE的三等分点(靠近D),所以SOAB=SABC,SOBC=SABC,SOAC=SABC,所以OAB,OAC,OBC的面积之比为=321.答案:32110.给出下列命题:若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要
7、条件;0a=0;a=b的充要条件是|a|=|b|且ab;若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.【解析】正确;数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;当a=b时|a|=|b|且ab,反之不成立,故错误;当a,b不同向时不成立,故错误.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2015南昌模拟)设e1与e2是不共线向量,a=ke1+e2,b=e1+ke2,若ab且ab,则实数k的值为()A.0B.1C.-1D.1【解析】选C.因为a=ke1+e2,b=e1+ke2,若ab且ab,所以存在(1),使a=b,即ke1+e2=(e1+ke2)=e1+ke2,又
8、因为e1与e2是不共线向量,所以解得k=1.当k=1时,a=b,不符合题意,所以k=-1.2.(5分)O是ABC所在平面外一点且满足=+,为实数,则动点P的轨迹必经过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确与是,方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为与+共线后可解.【解析】选B.如图,设=,=,已知,均为单位向量,故AEDF为菱形,所以AD平分BAC,由=+得=,又与有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在BAC的平分线上,故P的轨迹经过ABC的内心.3.(5分)(2015重庆模拟)若对任意kR,|-k|恒成立,则ABC的形状一定是.【解题提示】利用向量加减的几何
9、意义,数形结合求解.【解析】如图,设=k,则-k=-=,由对任意kR,都有|恒成立知,故ABC为直角三角形.答案:直角三角形4.(12分)(2015鹰潭模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,求实数m的值.【解析】由N是OD的中点得=+=+(+)=+,又因为A,N,E三点共线,故=,即m+=,所以解得故实数m=.【加固训练】已知ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+a+b,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由=+a+b,得-=(a+b),即=(+).如图
10、,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则=,所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.5.(13分)(能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若=a+b,=2a-3b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=3a+b-2a+b=a+2b,=-=a-3b-3a-b=-2a-4b,故=-2,又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为=+=a+b+2a-3b=3a-2b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,故存在实数使得=,即2a-kb=3a-2b,即解得所以k的值为.关闭Word文档返回原板块
