1、2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是（ ）A B C D3.若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）A B C D4.在中，则内角的正弦值为（ ）A B C. D5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A B C. 1 D6.若向量，向量在方向上的投影为2，若，则的大小为（ ）A 2 B C. 4 D7.执行如图的程序框图，输出的的值是（ ）A28 B3
2、6 C. 45 D558.若以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为（ ）A1 B2 C. D9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C. D10.定义，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B C. D11.函数是（ ）A奇函数 B偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数12.设实数满足关系：，则实数的最大值为（ ）A 2 B C. 3 D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量满足约束条件，则目标
3、函数的最大值是 14.若锐角满足，则 15.过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 16.定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数，给出如下命题：函数是函数的一个承托函数；函数是函数的一个承托函数；若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；值域是的函数不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月
4、份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：x258911y1210887（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：回归方程中，.，若，则，.19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，（1）若是线段上的点且满足，求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值20. 已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）（1）若，求直线的方程；（
5、2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值21. 已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中，），若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆相交于点（点不是原点）（1）求点的极坐标；（2）设直线过线段的中点，且直线交圆于两点，求的最大值23.选修4-5：不等式选讲（1）解不等式；（2）若满足（1）中不等式，求证：试卷答案一、选择题1-
6、5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12：DB二、填空题13. 14 14. 15. 16. 2三、解答题17. 解：（1）第一类解法： 当时，.当时，.而也满足.数列的通项公式为.（2）,.则.18. 解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1) 令,，,【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】（或者：） 所求的回归方程是 (2) 由知
7、与之间是负相关， 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克) （或者：） 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知，又由得 【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而 . 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19. 解:(1) 解法(一): ,，,（没有这一步扣一分）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 设是的中点,连接.平面, . 是的中点, . ，,. ,.（证得或也行）与相交于, 平面.在平面内, 平面平面 (2) 解法一: (
8、若第1问已经建系)，平面，是平面的一个法向量. ,， ，设平面的法向量是,则，取，得. 平面的法量.由图可知二面角的平面角的余弦值为.20. 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.设直线的方程为.令，其中. 由,得.联立，可得,，解得,.直线的方程为. (2)设,直线，点在抛物线上, 直线的斜率存在, 关于直线对称,所以.解得.故代入抛物线，可得， .直线的方程为或.设椭圆为. 联立直线和椭圆,消去整理得，解得.则，即.椭圆的长轴长的最小值为21. 解：（1）.若时，则在上是增函数.若 时，则在上是增函数.在上是减函数.（2）若在定义域内恒成立,考虑以下情形:当，同时恒成立时，由，恒成立.得
9、：.由，恒成立得：. 当，同时恒成立时，不存在； 当时，为增函数，为减函数, 若它们有共同零点，则恒成立.由，,联立方程组解得：.综上：或.22. 解: (1) 直线的倾斜角为,点的极角.代入圆的极坐标方程得.点的极坐标.(2)由(1)得线段的中点的极坐标是,的直角坐标为.圆的极坐标方程为,圆的直角坐标方程为.设直线的参数方程为(为参数).代入，得.设的参数依次为,则.的最大值为(此时直线的倾斜角为)23. 解：（1）当时，,解得，所以.当时，,解得当时，解得，所以（2）证明： 2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1已知集合，,则 A. B. C. D.
10、 【答案】B2复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A3若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C4在中，则角的正弦值为A. B. C. D. 【答案】A5如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A. B. 开始A=1，S=0A9输出SA=A+1结束S=S+A是否第7题图 C. 1 D. 【答案】D6已知向量，向量在方向上的投影为2.若/，则的大小为A. B. C. D. 【答案】D7执行如图的程序框图，输出的的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】C8若以函数的图像中相邻三个最值点为
11、顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为A.1 B. 2 C. D. 【答案】C9已知底面是边长为2的正方形的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4,是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】A10.定义设，则由函数的图像与轴、直线所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D. 【答案】C11函数是A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D12设实数同时满足关系: ，则实数的最大值为A.2 B. C. 3 D. 【答案】B解： 将题设条件变形为，代入由柯西不等式得如下不等式有，解这个一元二次不等式，得所以，当时，实数
12、取得最大值二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是 【答案】1414若锐角满足，则 【答案】15. 过动点作圆:的切线,其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 . 【答案】16定义在上的函数，如果存在函数，为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数.给出如下命题:函数是函数的一个承托函数;函数是函数的一个承托函数;若函数是函数的一个承托函数,则的取值范围是;值域是的函数不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 . 【答案】2三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演
13、算步骤. 17 (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列的前项和满足:.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：.解：（1）第一类解法： 当n=1时，.1分当时.2分.3分.4分而也满足.5分数列的通项公式为.6分第二类解法：.1分.2分.3分数列的通项公式为.4分第三类解法：.1分; .1分;.1分,共3分第四类解法：由Sn可知等差数列.2分且，.4分数列的通项公式为.5分（2）,.7分.8分则.9分.10分.11分.12分18 (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）
14、与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：2589111210887（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附: 回归方程中, ,.3.2, 1.8.若,则,.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1) 令,.1分【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 .2分 .3分 .4分【说明：2分至4分段，如果考
15、生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 （或者：） .5分所求的回归方程是 .6分(2) 由知与之间是负相关， .7分【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克) （或者：） .8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知，又由得 .9分【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而 .10分 .11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 .12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19 (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
16、）如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，.（1）若E是线段上的点且满足,求证: 平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.解:(1) 解法(一): ,. .1分（没有这一步扣一分）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .2分设M是BD的中点,连接.2分 C C1平面ABCD, . M是BD的中点,.3分 ,. . .4分,.5分（证得或也行）与相交于D, 平面.在平面内, 平面平面.6分解法(二): 设M是BD的中点,连接EM和.1分且共线. ,. EA平面ABCD, C C1平面ABCD , 是二面角的平面角.2分,.3分(正确计算出才给这1分),4分(至少算出一个).5分,即.二
17、面角的平面角为直角.平面EBD平面.6分解法(三): ,.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .1分设M是BD的中点,连接EM和.且共线. .2分 EA平面ABCD, C C1平面ABCD ,.是二面角的平面角.3分则，,.4分(至少正确写出一个点的坐标),.5分,二面角的平面角为直角,平面EBD平面.6分 解法四: 连结,交点为和，如图. ,.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .1分则是BD的中点. C C1平面ABCD, 是BD的中点,. 是BD的中点,.3分,.,.5分与相交于O, 平面.在平面内, 平面平面.6分(2) 解法一: (若第1问已经建系)，平面
18、，是平面的一个法向量.8分 ,， ，设平面的法向量是,则，取得.平面的法量.10分【另解：由（1）知当时，平面，则平面的法向量是=】.11分由图可知二面角的平面角的余弦值为.12分 解法二: (第1问未建系) ,以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .7分,平面，是平面的法向量.8分 ,， ，,设平面的法向量是,则，取得.平面的法量.10分.11分.由图可知二面角的平面角的余弦值为.12分解法三: (几何法) 设N是CD的中点,过N作NF于F,连接FB,如图.7分, NBCD.侧面底面ABCD, NB侧面.8分 NF,BFBFN是二面角的平面角.9分依题意可得NB =, NF =,
19、BF =.11分BFN=二面角的平面角的余弦值为.12分20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点,过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）.(1)若,求直线的方程; (2)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.1分设直线的方程为.2分令其中.由,得.3分联立可得,解得,.4分.5分直线的方程为.6分解法二: 由题意得抛物线方程为.1分设直线的方程为.2分令其中.由,得.3分联立可得,解得,.4分.5分直线的方程为.6分解法三:
20、由题意得抛物线方程为.1分设直线的方程为.2分令其中由,得.3分联立可得,解得,.4分.5分直线的方程为.6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。 （2）设出直线方程，得1分 （3）求出A，B两点横纵标关系（）或纵坐标关系（），得1分（4）联立方程组，求出纵坐标（，）或横坐标（），得1分 （5）求出待定的字母，得1分（6）下结论，写对直线方程，得1分。（若学生得两种结果，不得分）(2)设,直线点在抛物线上, 直线的斜率存在,7分关于直线对称,所以.解得.8分故代入抛物线:,可得 .9分直线的方程为或.10分设椭圆为,. 联立直线和椭圆,消去整理得解得.11分则即.椭圆的长轴长的最小
21、值为.12分第二问得分点分析： （1）点P坐标算对，得2分，若点P坐标不对，有过程，过程无论对错，得1分 （2）利用对称关系，得到点P坐标与待定字母之间关系，得1分。、 （3）将点P坐标代入抛物线方程，求出待定字母，得1分。 （4）写出直线方程，得1分。 （5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分 （6）求出长轴长的最小值，得1分(另外:若设直线方程为,则代入抛物线:,得直线的方程为.也对应给分)21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）,.1分若时，则在上是增函数.2
22、分若 时，则在上是增函数.3分在上是减函数.4分（说明：（1）分别求导正确没有作差也给1分求导分，（2）忘记讨论且单调性正确，不扣分，这1分也给。）（2）若在定义域内恒成立,考虑以下情形:当，同时恒成立时，由恒成立.5分得：.6分由恒成立得：.7分 当，同时恒成立时，不存在；.8分 当时，为增函数，为减函数, .9分若它们有共同零点，则恒成立.10分由，,联立方程组解得：.11分综上：或.12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E的极坐标方程为，以极点为原点、极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0，.若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆E相交于点A
23、(A点不是原点).(1)求点A的极坐标;(2)设直线过线段的中点,且直线交圆E于B,C两点,求的最大值.解: (1) （解法一）直线的倾斜角为,点A的极角.1分代入圆E的极坐标方程得.2分点A的极坐标.3分（解法二）由已知得直线的的直角方程为， 圆E的直角坐标方程为.1分（写对其中一个方程均给1分）联立得A点直角坐标为（-2,2），. . .2分由得A点极坐标A.3分（不写公式不扣分） (2)（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由(1)得线段的中点的极坐标是,的直角坐标为.4分圆E的极坐标方程为,圆E的直角坐标方程为.5分设直线的参数方程为(为参数).6分代入得.,设的参数依次为,则.7分.8
24、分.9分的最大值为(此时直线的倾斜角为).10分（解法二）由（1）知A(2，-2)，则M(1，-1)1分3分5分6分（解法三）由（1）A点直角坐标为（-2,2），M是OA中点，所以M点坐标为（-1,1）.4分圆E的极坐标方程为,圆E的直角坐标方程为.5分当BCx轴时，直线BC方程为.6分(会分类就给1分)或不妨设.7分当BC与x轴不垂直时，设直线BC方程为,消y得 .8分 设,.9分 （若会用两点间距离公式给1分）=8分=9分= 10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）解不等式；（2）若满足（1）中不等式，求证：.解：（1）当时,解得.所以.当时,解得当时解得所以.4分（分类标准对统一给1分，每个不等式去掉绝对值正确各给1分）不等式的解集为；.6分（2）证明：（解法一）7分 =8分=09分10分（解法二）.7分 则,.8分同理,.9分所以.10分
