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2018高考一轮通用人教A版数学(文)(练习)第3章 第4节 函数Y=ASIN(ΩX+Φ)的图象及三角函数模型的简单应用 WORD版含答案.doc

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资源描述

1、第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用考纲传真1.了解函数yAsin(x)的物理意义;能画出函数的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yAsin (x)的有关概念yAsin(x)(A0,0,x0),表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0,0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,

2、错误的打“”)(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位长度一致()(2)将y3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y3sin.()(3)函数f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)2(2016四川高考)为了得到函数ysin的图象,只需把函数ysin x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向上平行移动个单位长度D向下平行移动个单位长度A把函数ysin x的图象上所有的点向左

3、平行移动个单位长度就得到函数ysin的图象3若函数ysin(x)(0)的部分图象如图341,则()图341A5B4C3D2B由图象可知,x0x0,所以T,所以4.4将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为()A.B.C0DB把函数ysin(2x)沿x轴向左平移个单位后得到函数ysin 2sin为偶函数,则的一个可能取值是.5(教材改编)电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数关系式是I5sin,t0,),则电流I变化的初相、周期分别是_,由初相和周期的定义,得电流I变化的初相是,周期T.函数yAsin(x)的图象及变换已知函数f(x)

4、3sin,xR.(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图;(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?解(1)列表取值:xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.5分(2)先把ysin x的图象向右平移个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍,得到f(x)的图象.12分规律方法1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用x确定平移单位2用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设zx,由z取0,2来求出相应的x,通过列表,描点得出图象如果在限定的区间内作图象,还

5、应注意端点的确定变式训练1(1)(2016全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)(2016全国卷)函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象至少向右平移_个单位长度得到(1)D(2)(1)函数y2sin的周期为,将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,所得图象对应的函数为y2sin2sin,故选D.(2)ysin xcos x2sin,函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象向右平移个单位长度得到求函数yAsin(x)的解析式(1)(2016全国卷)函数yAs

6、in(x)的部分图象如图342所示,则()图342Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)已知函数yAsin(x)b(A0,0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2(1)A(2)D(1)由图象知,故T,因此2.又图象的一个最高点坐标为,所以A2,且22k(kZ),故2k(kZ),结合选项可知y2sin.故选A.(2)由函数yAsin(x)b的最大值为4,最小值为0,可知b2,A2.由函数的最小正周期为,可知,得4.由直线x是其图象的一条对称轴,可知4k,kZ,从

7、而k,kZ,故满足题意的是y2sin2.规律方法确定yAsin(x)b(A0,0)的步骤和方法(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A,b;(2)求:确定函数的周期T,则可得;(3)求:常用的方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0;“第二点”(即图象的“峰点”)时x;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x;“第四点”(即图象的“谷点”)时x;“第五点”时x2.变式训练2(2017石家庄

8、一模)函数f(x)Asin(x)(A0,0)的部分图象如图343所示,则f的值为()图343ABCD1D由图象可得A,最小正周期T4,则2.又fsin,解得2k(kZ),即k1,则f(x)sin,fsinsin1,故选D.函数yAsin(x)图象与性质的应用(2016天津高考)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.2分f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)

9、的最小正周期T.6分(2)令z2x,则函数y2sin z的单调递增区间是,kZ.由2k2x2k,得kxk,kZ.8分设A,BxkZ,易知AB.所以当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.12分规律方法讨论函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数变式训练3设函数f(x)sin2xsin xcos x(0),且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 【导学号:31222119】(1)求的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2

10、xsin.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又0,所以4,因此1.5分(2)由(1)知f(x)sin.6分当x时,2x,所以sin1,则1f(x).10分故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)10costsint,t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解(1)因为f(t)102102sin,2分又0t24,所以t,1sin1.4分当t2时,sin1;当t14时,sin1.于是f(t)在0,24)

11、上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .6分(2)依题意,当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin,故有102sin11,即sin.9分又0t24,因此t,即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.12分规律方法1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面:一是用已知的模型去分析解决实际问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型解决问题,其关键是合理建模2建模的方法是认真审题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程变式训练4(2015陕西高考)如图344,某港口

12、一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()图344A5B6C8D10C根据图象得函数的最小值为2,有3k2,k5,最大值为3k8.思想与方法1由图象确定函数解析式由图象确定yAsin(x)时,的确定是关键,尽量选择图象的最值点代入;若选零点代入,应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点2对称问题函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)易错与防范1要弄清楚是平移哪个

13、函数的图象,得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数3由ysin x的图象变换到yAsin(x)的图象,先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的4函数yAsin(x)在xm,n上的最值可先求tx的范围,再结合图象得出yAsin t的值域课时分层训练(二十)函数yAsin(x)的图象A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象,可以将函数ycos 3x的图象() 【导学号:312221

14、20】A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位A由于ysin 3xcos 3xsin,ycos 3xsin,因此只需将ycos 3x的图象向右平移个单位,即可得到ysinsin的图象2(2017成都二诊)将函数f(x)cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()Ag(x)cosBg(x)cosCg(x)cosDg(x)cosB由图象变换规则可得g(x)cos,故选B.3函数f(x)2sin(x)的部分图象如图345所示,则,的值分别是()图345A2,B2,C4,D4,A,T.由T,得2.22k,kZ,2k.又

15、,.4已知函数f(x)sin xcos x(0),yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是() 【导学号:31222121】A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZC由题设知f(x)2sin,f(x)的周期为T,所以2,由2k2x2k,kZ得,kxk,kZ.5(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ)Dx(kZ)B将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y2sin22sin的图象由2xk(kZ),得x(kZ),即平移后图象的对称轴为x(kZ)二、填空题6

16、若函数f(x)sin(0)的最小正周期为,则f_. 【导学号:31222122】0由f(x)sin(0)的最小正周期为,得4,所以fsin0.7已知函数ycos x与ysin(2x)(0),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是_由题意cos sin,即sin,k(1)k(kZ)因为0,所以.8某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ,12月份的月平均气温最低,为18 ,则10月份的平均气温值为_ .205依题意知,a23,A5,y235cos,当x10时,y235cos20.5.三、解答题9已

17、知函数f(x)sin1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相;(2)画出函数yf(x)在上的图象解(1)振幅为,最小正周期T,初相为.5分(2)图象如图所示12分10已知函数yAsin(x)(A0,0)的图象过点P,图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式;(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得A5,周期T4,2分2.故y5sin(2x),又图象过点P,4分5sin0,由已知可得0,y5sin.6分(2)由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,10分故函数f(x)的递增区间为(kZ).12分B组能力提升(建议用时:15分钟)1(2016北京高考)将函数ysin图象上的点P向左

18、平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上,则()At,s的最小值为Bt,s的最小值为Ct,s的最小值为Dt,s的最小值为A因为点P在函数ysin的图象上,所以tsinsin.所以P.将点P向左平移s(s0)个单位长度得P.因为P在函数ysin 2x的图象上,所以sin 2,即cos 2s,所以2s2k或2s2k,即sk或sk(kZ),所以s的最小值为.2若函数ycos 2xsin 2xa在上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为_ 【导学号:31222123】(2,1由题意可知y2sina,该函数在上有两个不同的零点,即ya,y2sin在上有两个不同的交点结合函数的图象可知1a2,所以2a1.3函数f(x)Asin(x)的部分图象如图346所示图346(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)2,求函数g(x)在x上的最大值,并确定此时x的值解(1)由题图知A2,则4,2分.又f2sin2sin0,sin0.4分0,0,即,f(x)的解析式为f(x)2sin.6分(2)由(1)可得f2sin2sin,8分g(x)2422cos.10分x,3x,当3x,即x时,g(x)max4.12分

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