1、第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用考纲传真1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yAsin (x)的有关概念yAsin(x)(A0，0，x0)，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，
2、错误的打“”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致()(2)将y3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y3sin.()(3)函数f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)2(2016四川高考)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向上平行移动个单位长度D向下平行移动个单位长度A把函数ysin x的图象上所有的点向左
3、平行移动个单位长度就得到函数ysin的图象3若函数ysin(x)(0)的部分图象如图341，则()图341A5B4C3D2B由图象可知，x0x0，所以T，所以4.4将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A.B.C0DB把函数ysin(2x)沿x轴向左平移个单位后得到函数ysin 2sin为偶函数，则的一个可能取值是.5(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I5sin，t0，)，则电流I变化的初相、周期分别是_，由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T.函数yAsin(x)的图象及变换已知函数f(x)
4、3sin，xR.(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.5分(2)先把ysin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.12分规律方法1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x确定平移单位2用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，还
5、应注意端点的确定变式训练1(1)(2016全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)(2016全国卷)函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象至少向右平移_个单位长度得到(1)D(2)(1)函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.(2)ysin xcos x2sin，函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象向右平移个单位长度得到求函数yAsin(x)的解析式(1)(2016全国卷)函数yAs
6、in(x)的部分图象如图342所示，则()图342Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)已知函数yAsin(x)b(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2(1)A(2)D(1)由图象知，故T，因此2.又图象的一个最高点坐标为，所以A2，且22k(kZ)，故2k(kZ)，结合选项可知y2sin.故选A.(2)由函数yAsin(x)b的最大值为4，最小值为0，可知b2，A2.由函数的最小正周期为，可知，得4.由直线x是其图象的一条对称轴，可知4k，kZ，从
7、而k，kZ，故满足题意的是y2sin2.规律方法确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.变式训练2(2017石家庄
8、一模)函数f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图343所示，则f的值为()图343ABCD1D由图象可得A，最小正周期T4，则2.又fsin，解得2k(kZ)，即k1，则f(x)sin，fsinsin1，故选D.函数yAsin(x)图象与性质的应用(2016天津高考)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.2分f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)
9、的最小正周期T.6分(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.8分设A，BxkZ，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.12分规律方法讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数变式训练3设函数f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 【导学号：31222119】(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2
10、xsin.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4，因此1.5分(2)由(1)知f(x)sin.6分当x时，2x，所以sin1，则1f(x).10分故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102102sin，2分又0t24，所以t，1sin1.4分当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24)
11、上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .6分(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.9分又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.12分规律方法1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模2建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程变式训练4(2015陕西高考)如图344，某港口
12、一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()图344A5B6C8D10C根据图象得函数的最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.思想与方法1由图象确定函数解析式由图象确定yAsin(x)时，的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点2对称问题函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)易错与防范1要弄清楚是平移哪个
13、函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数3由ysin x的图象变换到yAsin(x)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的4函数yAsin(x)在xm，n上的最值可先求tx的范围，再结合图象得出yAsin t的值域课时分层训练(二十)函数yAsin(x)的图象A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象() 【导学号：312221
14、20】A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位A由于ysin 3xcos 3xsin，ycos 3xsin，因此只需将ycos 3x的图象向右平移个单位，即可得到ysinsin的图象2(2017成都二诊)将函数f(x)cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()Ag(x)cosBg(x)cosCg(x)cosDg(x)cosB由图象变换规则可得g(x)cos，故选B.3函数f(x)2sin(x)的部分图象如图345所示，则，的值分别是()图345A2，B2，C4，D4，A，T.由T，得2.22k，kZ，2k.又
15、，.4已知函数f(x)sin xcos x(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是() 【导学号：31222121】A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZC由题设知f(x)2sin，f(x)的周期为T，所以2，由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ.5(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ)Dx(kZ)B将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin22sin的图象由2xk(kZ)，得x(kZ)，即平移后图象的对称轴为x(kZ)二、填空题6
16、若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f_. 【导学号：31222122】0由f(x)sin(0)的最小正周期为，得4，所以fsin0.7已知函数ycos x与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_由题意cos sin，即sin，k(1)k(kZ)因为0，所以.8某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温值为_ .205依题意知，a23，A5，y235cos，当x10时，y235cos20.5.三、解答题9已
17、知函数f(x)sin1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数yf(x)在上的图象解(1)振幅为，最小正周期T，初相为.5分(2)图象如图所示12分10已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得A5，周期T4，2分2.故y5sin(2x)，又图象过点P，4分5sin0，由已知可得0，y5sin.6分(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，10分故函数f(x)的递增区间为(kZ).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016北京高考)将函数ysin图象上的点P向左
18、平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则()At，s的最小值为Bt，s的最小值为Ct，s的最小值为Dt，s的最小值为A因为点P在函数ysin的图象上，所以tsinsin.所以P.将点P向左平移s(s0)个单位长度得P.因为P在函数ysin 2x的图象上，所以sin 2，即cos 2s，所以2s2k或2s2k，即sk或sk(kZ)，所以s的最小值为.2若函数ycos 2xsin 2xa在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为_ 【导学号：31222123】(2，1由题意可知y2sina，该函数在上有两个不同的零点，即ya，y2sin在上有两个不同的交点结合函数的图象可知1a2，所以2a1.3函数f(x)Asin(x)的部分图象如图346所示图346(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)2，求函数g(x)在x上的最大值，并确定此时x的值解(1)由题图知A2，则4，2分.又f2sin2sin0，sin0.4分0，0，即，f(x)的解析式为f(x)2sin.6分(2)由(1)可得f2sin2sin，8分g(x)2422cos.10分x，3x，当3x，即x时，g(x)max4.12分