1、20212022学年度第一学期学业质量监测高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已如集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 已知为角终边上一点，则（ ）A. B. 1C. 2D. 3【答案】B3. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A4. 图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地
2、利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）A. B. C. D. 【答案】B5. 若，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A6. 设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D7. ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B8. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设，则（ ）A. B. C.
3、 D. 【答案】BD10. 下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（ ）A. 前3个月的月产量逐月增加B. 第5月的月产量比第4个月少C. 第6月月产量与第5个月持平D. 第3个月结束后开始减产，直至停产【答案】ACD11. 已知且.下列选项中，满足为定值（与a，x的取值均无关）的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】ABC12. 已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则内至少有一个零点B. 若，则在内没有零点C. 若在内没有零点，则必有D. 若在内有唯一零点，则在上是单调函数【答案】AC三、填空题：本大题
4、共4小题，每小题5分，共20分.13. 的值为_.【答案】1114. 写出一个同时具有下列性质的函数_.（注：不是常数函数）；.【答案】15. 某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重/个，次品重/个.现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品.将这10袋产品从110编号，从第i号袋中取出i个产品，则共抽出_个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为_.【答案】 . 55 . 816. 若正数a，b满足，则的最大值为_.【答案】#0.25四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.（1）若
5、，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1） （2），【小问1】时，集合，；【小问2】若“”是“”的充分不必要条件，则，集合，解得，实数的取值范围是，18. 已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若，求值.【答案】（1） （2）【小问1】由题意可知，即，所以，将的图象向右平移个单位得，因为的图象关于轴对称，所以，所以，因为，所以，所以；【小问2】，所以，所以19. 设函数.（1）若函数的图象C过点，直线与图象C交于A，B两点，且，求a，b；（2）当，时，根据定义证明函数在区间
6、上单调递增.【答案】（1）， （2）证明见解析【小问1】由题意得，设，由题意得，即的两根为或，所以，所以，整理得，解得，或（舍；故，；小问2】证明：当，时，设，则，所以，所以在区间，上单调递增20. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1） （2）当海报纸宽
7、为，长为，可使用纸量最少【小问1】宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，故海报面积为【小问2】直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少21. 已知函数（，且）.（1）求的值，并证明不是奇函数；（2）若，其中e是自然对数的底数，证明：存在不为0的零点，并求.注：设x为实数，表示不超过x的最大整数.参考数据：，.【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析，【小问1】证明：，不是奇函数；【小问2】，（5），（5），存在不为0的零点22. 已知函数，.（1）若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求a；（2）若，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【小问1】根据题意，若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，则，变形可得或，解可得；无解；故；【小问2】证明：设，当时，其对称轴为，又由，则其对称轴，又由，在区间，上为增函数，则，当时，开口向上，当时，必有恒成立，综合可得：当是，恒成立，即恒成立
