1、唐山市2022-2023学年度高三年级第一学期学业水平调研考试数 学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的纲笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题
2、共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x1x1,B=xy=log21x,则AB=A.0,1B.(0,1C.,1D.(,12.已知函数fx=2xx2+1,则其图象大致为3.已知函数fx=3sin2xcos2x,则A.fx在6,0单调递增,且图象关于直线x=6对称B.fx在6,0单调递增,且图象关于直线x=3对称C.fx在6,0单调递减,且图象关于直线x=6对称D.fx在6,0单调递减,且图象关于直线x=3对称4.xaxn的展开式共有七项，且常数项为20,则a=A.1B.1C.2D.25.直线l:xy1=0与抛物线C:y2=4x交于A,
3、B两点,则AB=A.8B.42C.4D.226.高斯(Gauss)被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.小学进行1+2+3+100的求和运算时,他是这样算的:1+100=101,2+99=101,50+51=101,共有50组,所以50101=5050,这就是著名的高斯法,又称为倒序相加法.事实上,高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数y=fx的图象关于点12,1对称,Sn=n+1f1n+1+f2n+1+fnn+1,Sn为数列an的前n项和,则下列结论中,错误的是A.fx+f1x=2B.Sn=nn+1C.Sn=n1+an2D.1S1+1S2+1S3+1Sn17.已知正三棱
4、锥PABC的侧棱长为2,则该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为A.8B.10C.12D.148.设a=ln1110,b=tan110,c=111,则A.abcB.cbaC.acbD.ca1312.已知圆O:x2+y2=4,动点Px0,y0,直线l:x0x+y0y=4,O在l上的射影为点Q,下列结论正确的有A.若P在圆O上,则直线l与圆O相切B.若P在圆O内,则直线l与圆O相交C.若l过点1,0,与圆O相交于点A,B,则四边形OAPB面积的最小值为43D.若P在曲线xy+x+y=2上,则Q的轨迹所围成区域的面积为16+8三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知2a+3,a,2
5、a3是正项等比数列中的连续三项,则公比q= .14.在ABC中,AB=3,BC=2,M,N分别为BC,AM的中点,则AMBN= .15.圆台O1O2中,上、下底面的面积比为14,其外接球的球心O在线段O1O2上,若O1O=20O2,则圆台O1O2和球O的体积比为 .16.函数fx=aex1x,gx=xlnax,当x0时,fxgx,则a的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=cb.(1)若B=4,求tanC;(2)求tanC的最大值.18.(12分)已知an是等差数列
6、,bn是公比不为1的等比数列,a1=b1=2,a2=b2,a5=b3.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若集合M=bmbm=ak,m,kN,且1k100,求M中所有元素之和.19.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,BAD=60,PBAD,PA=AB=63PB.(1)证明:平面PAD平面ABCD;(2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.20.(12分)为试验一种新药,某医院把该药分发给10位患有相关疾病的志愿者服用.试验方案为:若这10位患者中至少有5人治愈,则认为这种新药有效;否则认为这种新药无效.假设新药有效，治愈率为80%.(1)用X表示这10位志愿者中治
7、前的人数,求X的期望EX;(2)若10位志愿者中治愈的人数恰好为EX,从10人中随机选取5人,求5人全部治愈的概率;(3)求经试验认定该药无效的概率p(保留4位小数）;根据p值的大小解释试验方案是否合理.(依据:当p值小于0.05时,可以认为试验方案合理,否则认为不合理.)附:记PX=k=C10k0.8k0.210k,k=0,1,2,10,参考数据如下:X2345678910P0.00010.00080.00550.02640.08810.20130.30200.26840.107421.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为22,点P1,22在E上,不经过点P的直线l:
8、y=kx+m与E交于不同的两点A,B.(1)求E的方程;(2)若直线PA与直线PB的斜率之和为0,求k的值及m的取值范围.22.(12分)已知函数fx=ex1x,gx=fxa.(1)求fx的极值;(2)若a0,证明:函数gx有两个零点x1,x2,且x1+x20.唐山市20222023学年度高三年级第一学期学业水平调研考试数学参考答案一选择题：14ADBB58ACCD二选择题：9AC10BD11AC12ACD三填空题：1321441516(0，e四解答题：17解：（1）由cosA及正弦定理得cosA，即cosAsinBsinC，由sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，代入整理得
9、sinAcosB2cosAsinB，又B，则tanA2tanB2，所以tanCtan(AB)5分（2）由cosA知，A为钝角，B为锐角，即tanB0由（1）知tanA2tanB，所以tanCtan(AB)8分当且仅当2tan2B1，即tanB时，等号成立所以tanC的最大值为10分18解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则由a1b12，a2b2，a5b3可得，解得q3或q1（舍），从而d4，所以an4n2，bn23n15分（2）设bmak，即23m14k2，得3m12k1，因为1k100，所以12k1199，故13m1199，由于3419935，所以0m14，即1m5，10分所以bm2
10、4212分19 解：（1）如图，取AD的中点O，连接OB，OP底面ABCD是菱形，BAD60，ABD是等边三角形，则有ADOB，又ADPB，OBPBB，AD平面POB，则有ADPO2分设PA2，则AB2，PB，POOB，PB2PO2OB2，POOB，又OBADO，4分PO平面ABCD，又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD5分（2）设PA2，以O为坐标原点，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示则A(1，0，0)，B(0，0)，C(2，0)，P(0，0，)，(1，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，)，设平面PAB的法向量为m(x1，y1，z1)，则令x1，得m(，1，1)，8
11、分设平面PBC的法向量为n(x2，y2，z2)，则令y21，得n(0，1，1)，10分设平面PAB与平面PBC夹角为q，则cosq|cosm，n|，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为12分20解：（1）将10位患者服用新药视为10重伯努利试验，在每次实验中，每位患者治愈的概率为0.8，且每位患者是否治愈相互独立，则XB(10，0.8)，故E(X)100.884分（2） 设A“任选5位志愿者全部治愈”，则P(A)7分（3）设B“经过试验该药被认定无效”，事件B发生等价于X4，则pP(B)P(X4)C0.8k0.210k0.00010.00080.00550.006411分p值小于0.05，
12、可以认为试验方案合理12分21解：（1）由题意得2分得a，b1，c1，则椭圆E的标准方程为：4分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24kmx2m220，依题设16k2m24(12k2)(2m22)8(12k2m2)0，则x1x2，x1x2，6分所以kPAkPB2k(km)2k(km)2k(km)2k9分由于kPAkPB0，于是0所以0，所以k10分由8(12k2m2)0，得m11分因为直线l不经过点P，所以m0于是m的取值范围为m且m012分22解：（1）函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xexex1，1分当x0时，f(x)0；2分当x0时，xex0，ex10，
13、则f(x)0，f(x)单调递增；当x0时，xex0，ex10，则f(x)0，f(x)单调递减故当x0时，f(x)取得极小值f(0)0；没有极大值4分（2）由（1）知g(x)至多有两个零点，且g(0)f(0)aa0取函数h(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0，h(x)单调递增；当x0时，h(x)0，h(x)单调递减故当x0时，h(x)取得最小值h(0)0，则ex1x因此，当x0时，f(x)(ex1)xx2，则g()f()aaa0故g(x)存在一个零点x1(0，)(0，)eaa0，eaea1则g(ea)(eea1)(ea)aeaeaeaaea1a0，故g(x)存在另一个零点x2(ea，0)(，0)综上所述，g(x)f(x)a有两个零点x1，x2，即f(x1)f(x2)a8分x20，x20，要证x1x20，只需证明x1x2由于当x0时，f(x)单调递增，故只需证明f(x1)f(x2)，即证f(x2)f(x2)令h(x)f(x)f(x)，x0则h(x)f(x)f(x)x(exex)exex2x0，exex0，x(exex)0又exex2，故h(x)0，当x0时，h(x)单调递增x20，h(x2)h(0)0，则f(x2)f(x2)因此x1x2012分
