1、湖北省松滋市实验初中城北校区周考试卷一考试范围：三角形；考试时间：100分钟；学校:_姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分 评卷人 得 分 一选择题（共10小题）1把15cm长的小木棒截成长度均为整数的三段后搭成三角形，截法共有（）A5种B6种C7种D8种2已知关于x的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（）A4个B5个C6个D7个3如图，D、E分别是ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（）ADE是ABC的中线BBD是ABC的中线CAD=DC，BE=ECDDE是BCD的中线4若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A直
2、角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形5如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50，ABC=60，则EAD+ACD=（）A75B80C85D906把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则APG=（）A141B144C147D1507如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340的新多边形，则原多边形的边数为（）A13B14C15D168如图，ABD，ACD的角平分线交于点P，若A=50，D=10，则P的度数为（）A15B20C25D309
3、如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A36B42C45D4810如图，已知点A（1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A2个B4个C6个D7个 评卷人 得 分 二填空题（共8小题）11如图，小亮从A点出发前10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m12将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为 度13如图1所示，圆上均匀分布着11
4、个点A1，A2，A3，A11从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1k8（k为正整数）例如，图2是“2阶正十一角星”，那么A1+A2+A11= ；当A1+A2+A11=900时，k= 14某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有 个三角形出现15如图，已知AE是ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，ACE的周长比AEB的周长多2cm，则AC= cm16如图，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，若1=40，2=20，则B= 17在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE平分ACB交AB于E
5、，D在AC上，且CBD=20，则CED的度数是 18已知ABC中，A=在图（1）中B、C的角平分线交于点O1，则可计算得BO1C=90+；在图（2）中，设B、C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则BO2C= ；请你猜想，当B、C同时n等分时，（n1）条等分角线分别对应交于O1、O2，On1，如图（3），则BOn1C= （用含n和的代数式表示） 评卷人 得 分 三解答题（共7小题）19一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，求多边形的边数20如图，AF平分BAC，DF平分BDC，求证：AFD=（H+BGC）21RtABC中，C=90，点D、E分别是ABC边AC、BC上的点，点
6、P是一动点令PDA=1，PEB=2，DPE=（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且=50，则1+2= ；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则、1、2之间的关系为： ；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由（4）若点P运动到ABC形外，如图（4）所示，则、1、2之间的关系为： 22将纸片ABC沿DE折叠使点A落在A处的位置（1）如果A落在四边形BCDE的内部（如图1），A与1+2之间存在怎样的数量关系？并说明理由（2）如果A落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的1变为0角，则A与2之间的关系是 （3）如果A落在四边形BCDE
7、的外部（如图2），这时A与1、2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由23在锐角ABC中，点D是ABC、ACB的平分线的交点（1）如图1，点E是ABC外角MBC、NCB的三等分线的交点，且EBC=MBC，ECB=NCB，若BAC=60，则BDC= ，BEC= ；（2）如图2，锐角ABC的外角ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出BAC的度数24如图，平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，ABC=20，ADC=40（1）如图1，BAD和BCD的角平分线交于点M，求AMC的大小；（2）如图2，点E在BA的延长线上，DAE的平分线和BCD的
8、平分线交于点N，求ANC度数；（3）如图3，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，DAE的平分线和DCF的平分线交于点P，请直接写出APC 的度数25提出问题：如图，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，PBC与ABC和DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP=AD时（如图）：AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABDPD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S
9、四边形ABCDSABC）=SDBC+SABC（2）当AP=AD时，探求SPBC与SABC和SDBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP=AD时，SPBC与SABC和SDBC之间的关系式为： ；（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求SPBC与SABC和SDBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP=AD（01）时，SPBC与SABC和SDBC之间的关系式为： 湖北省松滋市实验初中城北校区周考试卷一参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1把15cm长的小木棒截成长度均为整数的三段后搭成三角形，截法共有（）A5种B6种C7种D8种【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，
10、从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法【解答】解：长棒的长度为15cm，即三角形的周长为15cm当三角形的最长边为7时，有4种截法，分别是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；当三角形的最长边为6时，有2种截法，分别是：6，6，3；6，5，4；当三角形的最长边为5时，有1种截法，是：5，5，5；当三角形的最长边为4时，有1种截法，是4，3，8，因为4+38，所以此截法不可行；不同的截法有：4+2+1=7种故选：C【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力，注意不能构成三角形的情况一定要排除2已知关于x的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角
11、形，则a的整数解有（）A4个B5个C6个D7个【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4a10，进而得出a的取值范围是5a10，即可得到a的整数解有4个【解答】解：解不等式，可得xa，解不等式，可得x4，不等式组至少有两个整数解，a5，又存在以3，a，7为边的三角形，4a10，a的取值范围是5a10，a的整数解有4个，故选：A【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了3如图，D、E分别是ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的
12、是（）ADE是ABC的中线BBD是ABC的中线CAD=DC，BE=ECDDE是BCD的中线【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线根据中线的定义分析各个选项【解答】解：D、E分别是ABC的边AC、BC的中点，DE是ABC的中位线，不是中线；BD是ABC的中线；AD=DC，BE=EC；DE是BCD的中线；故选：A【点评】本题考查了中线的概念：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线4若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形【分析】根据三角形内角和等于180列出方程，解方程求出x，判断即可【
13、解答】解：设三个内角度数分别为：2x、3x、4x，由三角形内角和定理得，2x+3x+4x=180，解得，x=20，则2x=40、3x=60、4x=80，这个三角形是锐角三角形，故选：B【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180是解题的关键5如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50，ABC=60，则EAD+ACD=（）A75B80C85D90【分析】依据AD是BC边上的高，ABC=60，即可得到BAD=30，依据BAC=50，AE平分BAC，即可得到DAE=5，再根据ABC中，C=180ABCBAC=70，可得EAD+A
14、CD=75【解答】解：AD是BC边上的高，ABC=60，BAD=30，BAC=50，AE平分BAC，BAE=25，DAE=3025=5，ABC中，C=180ABCBAC=70，EAD+ACD=5+70=75，故选：A【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用6把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则APG=（）A141B144C147D150【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得A
15、PG的度数【解答】解：（62）1806=120，（52）1805=108，APG=（62）18012031082=720360216=144故选：B【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：（n2）180 （n3）且n为整数）7如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340的新多边形，则原多边形的边数为（）A13B14C15D16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n2）180=2340，解得n=15，原多边形是151=14，故选：B【点评】本
16、题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键8如图，ABD，ACD的角平分线交于点P，若A=50，D=10，则P的度数为（）A15B20C25D30【分析】利用角平分线的性质计算【解答】解：延长DC，与AB交于点EACD是ACE的外角，A=50，ACD=A+AEC=50+AECAEC是BDE的外角，AEC=ABD+D=ABD+10，ACD=50+AEC=50+ABD+10，整理得ACDABD=60设AC与BP相交于O，则AOB=POC，P+ACD=A+ABD，即P=50（ACDABD）=20故选：B【点评】本题综合考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点9如图是由10
17、把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A36B42C45D48【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120，则两锐角的和等于60，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：3603=120，180120=60，正五边形的每一个内角=（52）1805=108，梅花图案中的五角星的五个锐角均为：10860=48故选：D【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的性质，仔细观察图形并作出辅助线是解题的关键，难度中等10如图，已知点A（1，0）和点B（1，2），在
18、坐标轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A2个B4个C6个D7个【分析】当PBA=90时，即点P的位置有2个；当BPA=90时，点P的位置有3个；当BAP=90时，在y轴上共有1个交点【解答】解：以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点所以满足条件的点P共有6个故选：C【点评】主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况二填空题（共8小题）11如图
19、，小亮从A点出发前10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了240m【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案【解答】解：小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，根据外角和定理可知正多边形的边数为n=36015=24，则一共走了2410=240米故答案为：240【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理任何一个多边形的外角和都是360，用外角和求正多边形的边数可直接让360除以一个外角度数即可12将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度
20、数为75度【分析】根据三角形三内角之和等于180求解【解答】解：如图3=60，4=45，1=5=18034=75故答案为：75【点评】考查三角形内角之和等于18013如图1所示，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，A11从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1k8（k为正整数）例如，图2是“2阶正十一角星”，那么A1+A2+A11=1260；当A1+A2+A11=900时，k=2或7【分析】根据题意先得出A1=7，从而得到A1+A2+A11的度数；分（92k）=2，（2k9）=2两种情况讨论可得当A1+A2+A11=900时，k
21、的值【解答】解：看图2，设圆心为O，则优角A10OA3的度数为角A1的2倍而优角A10OA3=A10OA9+A9OA8+A8OA7+A4OA3，而每个AkOAk1=，所以，优角A10OA3=7，进而A1=优角A10OA32=7，所以A1+A2+A11=7180=1260；由题意，A1即为Ak+1A1A12k，当k6时，同（1）问，可计算得那个优角的度数为（92k），因此，（92k）=2，解得k=2，当k6时，优角的度数为（2k9），因此（2k9）=2解得k=7综上，k=2或7故答案为：1260，2或7【点评】考查了k+1阶正十一角星，关键是理解优角A10OA3的度数为角A1的2倍的知识点14某
22、同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有0或3或4或8个三角形出现【分析】根据三角形的概念以及平面内四个点的位置关系，此题应分情况考虑：当四个点共线时，不能作出三角形；当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3个三角形；若4个点能构成凹四边形，则能画出4个三角形；当任意的三个点不共线时，则能够画出8个三角形【解答】解：当四个点共线时，不能作出三角形；当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3个三角形；若4个点能构成凹四边形，则能画出4个三角形；当任意的三个点不共线时，则能够画出8个三角形0或3或4或8【点评】考查了平面内点的位置关系以及三角形
23、的概念15如图，已知AE是ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，ACE的周长比AEB的周长多2cm，则AC=10cm【分析】依据AE是ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，ACE的周长比AEB的周长多2cm，即可得到AC的长【解答】解：AE是ABC的边BC上的中线，CE=BE，又AE=AE，ACE的周长比AEB的周长多2cm，ACAB=2cm，即AC8=2cm，AC=10cm，故答案为：10；【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键16如图，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，若1=40，2=20，则B=30【分析】
24、由AE平分BAC，可得角相等，由1=40，2=20，可求得EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案【解答】解：AE平分BAC，1=EAD+2，EAD=12=4020=20，RtABD中，B=90BAD=904020=30故答案为30【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得EAD的度数是正确解答本题的关键17在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE平分ACB交AB于E，D在AC上，且CBD=20，则CED的度数是10【分析】根据题意和邻补角的性质分别求出DBA和PBA的度数，即可证明BA是CBD的外角平分线；再作EFAC于F，EGBD于G，EHCB于H
25、，根据角平分线的性质证明DE平分BDA，最后依据三角形外角性质即可得到CED的度数【解答】解：ABC=100，CBD=20，DBA=80，PBA=80，DBA=PBA，BA是CBD的外角平分线，如图，作EFAC于F，EGBD于G，EHCB于H，CE平分ACB，EFAC，EHCB，EF=EH，同理，EG=EH，EF=EG，又EFAC，EGBD，DE平分BDA，ACB=20，CBD=20，CE平分ACB，ADB=40，DCE=10，ADE=ADB=20，CED=ADEDCE=10故答案为：10【点评】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的判定，作辅助线并判定DE平分BDA是解题的关键18已知A
26、BC中，A=在图（1）中B、C的角平分线交于点O1，则可计算得BO1C=90+；在图（2）中，设B、C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则BO2C=60+；请你猜想，当B、C同时n等分时，（n1）条等分角线分别对应交于O1、O2，On1，如图（3），则BOn1C=+（用含n和的代数式表示）【分析】根据三角形的内角和等于180用表示出（ABC+ACB），再根据三等分的定义求出（O2BC+O2CB），在O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180用表示出（ABC+ACB），再根据n等分的定义求出（On1BC+On1CB），在On1BC中，利用三角形内角和定理
27、列式整理即可得解【解答】解：在ABC中，A=，ABC+ACB=180，O2B和O2C分别是B、C的三等分线，O2BC+O2CB=（ABC+ACB）=（180）=120；BO2C=180（O2BC+O2CB）=180（120）=60+；在ABC中，A=，ABC+ACB=180，On1B和On1C分别是B、C的n等分线，On1BC+On1CB=（ABC+ACB）=（180）=BOn1C=180（On1BC+On1CB）=180（）=+故答案为：60+；+【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键三解答题（共7小题）19一个多边形内
28、角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，求多边形的边数【分析】根据多边形的外角和是360可得出内角和为4360+180，再根据内角和公式可以求得多边形的边数【解答】解：设多边形的边数为x多边形的外角和是360，内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，可得方程（n2）180=4360+180解得x=11多边形的边数为11【点评】本题主要考查的是多边形的外角和是360以及多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键20如图，AF平分BAC，DF平分BDC，求证：AFD=（H+BGC）【分析】延长AF交DH于E点，由三角形外角和定理和角平分线的性质，可以得到证明【解答】证明：延长AF交DH于E点由
29、三角形外角定理得：AFD=FDE+FED=FDE+H+HAE，AF平分BAC，DF平分BDC，AFD=BDC+BAC+H，BGC=BDC+ACD=BDC+BAC+H，（BGC+H）=（BDC+BAC+H+H）=BDC+BAC+H=AFD【点评】本题考查了三角形外角和定理的简单应用，解答本题的关键在于利用角平分线的性质进行转化21RtABC中，C=90，点D、E分别是ABC边AC、BC上的点，点P是一动点令PDA=1，PEB=2，DPE=（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且=50，则1+2=140；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则、1、2之间的关系为：1+2=90+；（3）
30、若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由（4）若点P运动到ABC形外，如图（4）所示，则、1、2之间的关系为：2=90+1【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出1+2=C+，进而得出即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角外角的性质得出1=C+2+=90+2+；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出【解答】解：（1）1+2+CDP+CEP=360，C+CDP+CEP=360，1+2=C+，C=90，=50，1+2=140；故答案为：140；（2）由（1）得出：+C=1+2，1+2=90+故答案为：1+2=90
31、+；（3）1=90+2+，理由：2+=DME，DME+C=1，1=C+2+=90+2+（4）PFD=EFC，180PFD=180EFC，+1801=C+1802，2=90+1故答案为：2=90+1【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键22将纸片ABC沿DE折叠使点A落在A处的位置（1）如果A落在四边形BCDE的内部（如图1），A与1+2之间存在怎样的数量关系？并说明理由（2）如果A落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的1变为0角，则A与2之间的关系是2A=2（3）如果A落在四边形BCDE的外部（如图2），这时A与1、2之间又存
32、在怎样的数量关系？并说明理由【分析】（1）根据折叠性质得出AED=AED，ADE=ADE，根据三角形内角和定理得出AED+ADE=180A，代入1+2=180+1802（AED+ADE）求出即可；（2）根据三角形外角性质得出DME=A+1，2=A+DME，代入即可求出答案；（3）根据三角形外角性质得出DME=A+1，2=A+DME，推出2=A+A+1，即可得出答案【解答】解：（1）图1中，2A=1+2，理由是：延DE折叠A和A重合，AED=AED，ADE=ADE，AED+ADE=180A，1+2=180+1802（AED+ADE），1+2=3602（180A）=2A；（2）2A=2，如图2=A
33、+EAD=2A，故答案为：2A=2；（3）如图2，2A=21，理由是：延DE折叠A和A重合，A=A，DME=A+1，2=A+DME，2=A+A+1，即2A=21【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力23在锐角ABC中，点D是ABC、ACB的平分线的交点（1）如图1，点E是ABC外角MBC、NCB的三等分线的交点，且EBC=MBC，ECB=NCB，若BAC=60，则BDC=120，BEC=100；（2）如图2，锐角ABC的外角ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出BAC的度数【
34、分析】（1）依据点D是ABC、ACB的平分线的交点，可得DBC=ABC，DCB=ACB，根据BCD中，D=180（DBC+DCB）=180（ABC+ACB）进行计算即可；依据EBC=MBC，ECB=NCB，可得EBC+ECB=（MBC+NCB）=80，依据BCE中，E=180（EBC+ECB）进行计算即可；（2）根据已知条件求得FDC=90A，F=FCGFBC=A，DCF=90，再根据在DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，分数轴情况进行讨论：当FDC=4F时；当F=4FDC时；当DCF=4FDC时；当DCF=4F时；分别求得BAC的度数为36或144或135或45【解答】解：（1）BAC=
35、60，ABC+ACB=120，又点D是ABC、ACB的平分线的交点，DBC=ABC，DCB=ACB，BCD中，D=180（DBC+DCB）=180（ABC+ACB）=18060=120；EBC=MBC，ECB=NCB，EBC+ECB=（MBC+NCB）=（180ABC+180ACB）=（360120）=80，BCE中，E=180（EBC+ECB）=18080=100；故答案为：120，100；（2）由（1）可得，BDC=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+A，FDC=180（90+A）=90A，FCG是BCF的外角，ACG是ABC的外角，F=FCGFBC，A=ACGABC，又B
36、F平分ABC，FC平分ACG，FBC=ABC，FCG=ACG，F=FCGFBC=ACGABC=（ACGABC）=A，DC平分ACB，FC平分ACG，DCF=ACD+ACF=BCG=90，在DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则当FDC=4F时，90A=4A，解得A=36；当F=4FDC时，A=4（90A），解得A=144；当DCF=4FDC时，90=4（90A），解得A=135；当DCF=4F时，90=4A，解得A=45；综上所述，锐角ABC中BAC的度数为36或45【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180是解答此题的关键24如图，平面内，四
37、条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，ABC=20，ADC=40（1）如图1，BAD和BCD的角平分线交于点M，求AMC的大小；（2）如图2，点E在BA的延长线上，DAE的平分线和BCD的平分线交于点N，求ANC度数；（3）如图3，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，DAE的平分线和DCF的平分线交于点P，请直接写出APC 的度数【分析】（1）根据题意，设AD与BC交于点F，BC与AM交于P，CFD=x，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可以利用x表示出BCM的值，以及APB的度数，即CPM的度数，在CPM中，利用三角形的内角和定理，即可求AMC；（2）设AD、BC交于点F，
38、设AFB=x，设AN与BC交于点R，利用三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，利用x表示出RCN以及CRN的度数，然后在CNR中，利用三角形内角和定理即可求解；（3）类比第二问的方法进行分析即可得到答案【解答】解：（1）如图1所示，DB=4020=20，2x2y=20xy=10，MB=10，M=30，（2）如图2所示，由1=20+1802x=40+2y得x+y=80，2=y+N=20+180x，解得N=120，（3）如图3所示，由1=20+1802x=40+1802y得yx=10，由2=180（180x+20）=180（180y+P）得yx+20=P，所以解得P=30【点评】本题考查了三角形
39、的内角和定理及三角形的外角的性质，关键是要想到利用方程来进行解答25提出问题：如图，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，PBC与ABC和DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP=AD时（如图）：AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABDPD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）=SDBC+SABC（2）当AP=AD时，探求SPBC与SABC
40、和SDBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP=AD时，SPBC与SABC和SDBC之间的关系式为：SPBC=SDBC+SABC；（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求SPBC与SABC和SDBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP=AD（01）时，SPBC与SABC和SDBC之间的关系式为：SPBC=SDBC+SABC【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；（5）利用（4），得到更普遍的规律【解答】解：（2）AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABD又PD
41、=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）=SDBC+SABCSPBC=SDBC+SABC（3）SPBC=SDBC+SABC；（4）SPBC=SDBC+SABC；AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABD又PD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）=SDBC+SABCSPBC=SDBC+SABC问题解决：SPBC=SDBC+SABC【点评】注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解
