1、山东省枣庄三中2020-2021学年高二数学10月份质量检测考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知向量=(2，-3，5)与=(4，x，y)平行，则x，y的值分别为 ( )A. 6和-10B. -6和10C. -6和-10D. 6和10【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得到关于x，y的关系式，解方程可得所求【详解】=(2，-3，5)与=(4，x，y) 平行，解得故选B【点睛】解答本题关键是根据向量共线的充要条件得到比例式，然后通过解方程求解，考查基本知识的运用，属于容易题2. 已知直线的倾斜角为，在
2、x轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，先得出直线过点，由倾斜角得出斜率，进而可得出结果.【详解】因为直线的倾斜角为，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率为，且该直线过点，所以该直线的方程为.故选：B.【点睛】本题主要考查求直线的方程，属于基础题型.3. 在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为( )A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向
3、量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.4. 已知，直线：，：，且，则的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5. 已知直线及两点、，若直线与线段的延长线相交（不含Q点），则实数a的取值范围是（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直线过定点，求出直线PQ、MQ的斜率，数形结合可求得直
4、线斜率的取值范围.【详解】直线过定点，作出图像如下图所示：，直线的斜率为，若直线与线段的延长线相交（不含Q点），则，即.故选：B【点睛】本题考查直线的斜率，属于基础题.6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率解析式，设出倾斜角，通过斜率的取值范围得到倾斜角的范围.【详解】直线，即，斜率为，因，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：D.【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题.7. 如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长
5、为定值，则点Q到平面的距离（ ）A. 等于B. 和的长度有关C. 等于D. 和点Q的位置有关【答案】A【解析】【分析】取的中点G，连接，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则由得令，则，所以是平面的一个法向量设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错故选：A【点睛】本题主要考查
6、点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.8. 已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别计算点到四条直线的距离，结合点相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案【详解】由题意，当到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点 的“相关直线” A ，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；B ，直线为，所以点到直线的距离为，所以点到直线的最小
7、值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；C ，直线为，所以点到直线的距离为：，所以点到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；D ，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点使成立，不是点的“相关直线”故选：D【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 下列关于空间向量的命题中，正确的有
8、（ ）A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；B. 若非零向量，满足，则有；C. 若，是空间的一组基底，且，则，四点共面；D. 若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.【详解】解：对于A：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故A正确；对于B：若非零向量，满足，则与不一定共线，故B错误；对于C：若，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，四点共面，故C正确；对于D：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存唯一实数组，使，则，也是空间的一组基底
9、.故选：ACD.【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题型.10. 下列说法错误的是（ ）A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；B. 直线与直线互相平行，则；C. 过两点的所有直线的方程为；D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ABCD【解析】【分析】直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定、的结论【详解】解：对于：当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直时，即解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故错误对于：直线与直线互相平行，所以解得或，经检验或都成立
10、；故错误；对于：过，（且，两点的所有直线的方程为，故错误对于：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为：故：经过原点的直线为，设在坐标轴上的截距为，设直线方程为所以，解得，故，故错误故选：【点睛】本题考查的知识要点：直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题11. （多选题）如图，在菱形中，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 与平面所成的最大角为B. 存在某个位置，使得C. 当二面角的大小为时，D. 存在某个位置，使得到平面的距离为【答案】BC【解析】【分析】本题首先可根据当时与平面所
11、成角的值得出A错误，然后通过证明平面判断出B正确，再然后根据二面角的大小为得出，通过得出，C正确，最后根据判断出D错误.【详解】如图所示：A项：取的中点，连结、，因为四边形是菱形，是线段的中点，所以,平面，平面，所以平面，所以平面，所以在平面的射影为，即与平面所成角，三角形是等腰三角形，当时，与平面所成角为，故A错误；B项：当时，取的中点，可得，故平面，故B正确；C项：因为四边形是菱形，是线段的中点，所以，因为是平面与平面的交线，所以即平面与平面所成角，因为二面角的大小为，所以，因为，所以，故C正确；D项：因为，所以如果到平面的距离为，则平面，则，显然不可能，故D错误，故选：BC.【点睛】本题
12、考查空间几何的相关问题，主要考查线面角、面面角、线面垂直的证明与性质以及点到平面的距离，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题.12. 如图，在棱长为2的正方体中，下列结论正确的有（ ）A. 二面角的大小为B. 异面直线与所成的角为C. 到平面的距离为D. 直线与平面所成角为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，推导了出二面角的平面角为，由此能判断A的正误；对于B，异面直线与CD所成的角为，由此能判断B的正误；对于C，到平面的距离为，由此能判断C的正误；对于D，连结，交于点O，取中点E，连结OE，推导出是直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成的角的大小.【详解】在棱长为2的正方体中，对
13、于A，是二面角的平面角，且，二面角的大小为，故A正确；对于B，是异面直线与CD所成角（或所成角的补角），四边形是正方形，异面直线与CD所成的角为，故B错误；对于C，连结，交于点O，取中点E，连结OE，由题意得，又，平面，到平面的距离为，故C正确；对于D，连结，交于点O，取中点E，连结OE，由题意得，又，平面，是直线与平面所成的角，直线与平面所成的角为，故D正确，故选：ACD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则
14、_【答案】【解析】因为点在平面上的射影为点, 在平面上的射影为点，所以由两点间距离公式可得 ，故答案为.14. 经过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当AOB面积最小时，直线l的方程为_.【答案】x+2y40；【解析】【分析】先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解【详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y1k（x2），k0，令x0可得，y12k，令y0可得x2，则，当且仅当4k即k时取等号，此时直线方程y1（x2）,即x+2y40故答案为：x+2y40【点睛】本题主要考查了直线方程的应用及利用基本不等式求最值问题，属于基础题15.
15、过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为_.【答案】或【解析】【分析】联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于即可；若直线斜率不存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.【详解】联立可得交点为.当直线斜率不存在时，x=，到原点的距离等于，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与原点的最短距离为，所以，解得，所以所求直线的方程为.所以本题答案为或.【点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式
16、的应用，属于基础题.16. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于_【答案】【解析】【分析】以底面中心为原点建立空间直角坐标系，求出点的坐标，求出侧面的方程，最后利用所给公式计算即可【详解】如图，以底面中心为原点建立空间直角坐标系，则，1，1，0，设平面的方程为，将坐标代入计算得解得，即，故答案为：【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题四、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余
17、每题12分，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知RtABC的顶点A(3,0)，直角顶点B(1，)，顶点C在x轴上（1）求点C的坐标；（2）求斜边上的中线的方程【答案】（1）C(3,0)；（2）y2x.【解析】【分析】（1）由垂直得kABkBC1，设，即可得（2）求出中点坐标，得中线斜率，从而得直线方程【详解】（1）ABBC，故kABkBC1.又A(3,0)，B(1，)，设，则，解得，C(3,0)(2)由(1)得C(3,0)，AC的中点为(0,0)，斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k2，直线OB的方程为y2x.【点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查直线
18、方程属于基础题18. 已知平行六面体，设，；（1）试用、表示；（2）求的长度；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，由此能求出结果（2）由，由此能求出的长度【详解】解：（1）（2），设，；，的长度为【点睛】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题19. 已知的顶点，边上的高所在的直线的方程为，角A的平分线所在直线的方程为（1）求直线的方程；（2）求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据垂直确定直线斜率，计算得到直线方程.（2）计算交点，利用到角公式计算，再计算直线方程得到答案.【详
19、解】（1）边上的高所在的直线的方程为，所以直线上的高的斜率，直线的斜率为所以直线的方程为，整理得（2）角A的平分线所在直线的方程为，所以，解得故由于直线的斜率，角A的平分线的斜率，设直线的斜率，利用到角公式：，解得，所以直线的方程为，整理得【点睛】本题考查了求直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定直线斜率是解题的关键.20. 如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，M是侧棱上一点，设（1）若，求异面直线与所成角的大小；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求点M到平面的距离【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
20、利用向量法能求出异面直线与所成角的大小（2）求出平面的法向量，利用量法能求出直线与平面所成角的大小（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离【详解】（1）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，当时，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的大小为（2）时，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角的大小为，则（3）时，设平面的法向量，则，取，得，点M到平面的距离【点睛】本题考查线线角、线面角、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21. 已知直线经过点(1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程；(2)
21、若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程【答案】(1)或；(2)【解析】【分析】(1)本题首先可以假设直线的斜率不存在，然后根据点得出直线方程，再然后假设直线斜率存在并设出直线方程，最后根据原点到直线的距离为2即可得出结果；(2)本题首先可以设出直线与直线，的交点坐标、分别为、，然后根据中点坐标的相关性质得出、，再然后根据在上以及在上得出并解得的坐标是，最后根据直线的两点式方程即可得出结果.【详解】(1)直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为当直线斜率存在时，设直线方程为，由原点到直线的距离为2得，解得，故直线的方程为，即，综上，所求直线方程为或(2)设直线夹在直线，之间的
22、线段为（在上，在上），、的坐标分别设为、，因为被点平分，所以，于是，由于在上，在上，即，解得，即的坐标是，故直线的方程是，即【点睛】本题考查直线的方程的求法，主要考查直线的点斜式方程以及直线的两点式方程，考查中点坐标的相关性质以及点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，在计算过程中要注意斜率不存在的情况，是中档题.22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点（2）先根
23、据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接因为平面，平面平面，所以因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点 （2）取的中点，连接，因为，所以又平面平面，且平面，所以平面因为平面，所以因为是正方形，所以 如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，于是平面的法向量为，所以由题知二面角为锐角，所以它的大小为 （3）由题意知， 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为
