1、6.2 等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从_起,每一项与它的前一项的_都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_,通常用字母d表示 第2项差公差(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A,其中A叫做a,b的_.2等差数列的有关公式(1)通项公式:an_ 等差中项a1(n1)d(2)前 n 项和公式:Snna1n(n1)2dn(a1an)2.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam_(n,mN*)(2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则_.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,
2、公差为_(nm)dakalaman2d(4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为_的等差数列(6)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,构成等差数列.md【知识拓展】1等差数列的四种判断方法(1)定义法:an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法:2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式:anpnq(p,q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式:SnAn2Bn(A,B为常数)an是等差数列.2等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数
3、列SnAn2Bn(A,B 为常数).3等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中,a10,d0,则 Sn 存在最大值;若 a10,则 Sn 存在最小值.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n,则它的公差为2.()【答案】(1)(2)(3)(4)1在等差数列an中,若a24,a42,则a6等于()A1 B0 C1D6【解析】由等差数列的性质,得a62a4
4、a22240,故选B.【答案】B 2已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100等于()A100B99 C98D97【解析】由等差数列性质,知 S99(a1a9)292a529a527,得 a53,而 a108,因此公差 da10a5105 1,a100a1090d98,故选 C.【答案】C 3设数列an是等差数列,若a3a4a512,则a1a2a7等于()A14B21 C28D35【解析】a3a4a53a412,a44,a1a2a77a428.【答案】C 4(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524,S648,则an的公差为()A1B2 C4D8【解析】设an的
5、公差为 d,则 由a4a524,S648,得(a13d)(a14d)24,6a1652 d48,解得 d4.故选 C.【答案】C题型一 等差数列基本量的运算【例1】在等差数列an中,(1)已知a1533,a45153,求an;(2)已知a610,S55,求Sn;(3)已知前3项和为12,前3项积为48,且d0,求a1.【解析】(1)方法一 设首项为 a1,公差为 d,依条件得 33a114d,153a144d,解得a123,d4.所以 an23(n1)44n27.方法二 由 danamnm,得 da45a15451515333304,由 ana15(n15)d,得 an4n27.(2)因为 a
6、610,S55,所以a15d10,5a110d5.解得 a15,d3.所以 Sn5nn(n1)2332n2132 n.(3)设数列的前三项分别为 a2d,a2,a2d,依题意有:(a2d)a2(a2d)12,(a2d)a2(a2d)48,即a24,a2(a22d2)48,解得a24,d2.因为 d0,所以 d2,所以 a1a2d2.【思维升华】等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解
7、决问题跟踪训练1(1)周髀算经是中国古代的天文学和数学著作其中一个问题大意为:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为()A五寸 B二尺五寸 C三尺五寸D一丈二尺五寸(2)已知an是等差数列,Sn 是其前 n 项和若 a1a223,S510,则 a9 的值是_【解析】(1)设晷长为等差数列an,公差为d,a115,a13135,则1512d135,解得d10.a2151025,易经中所记录的惊蛰的晷影长是2尺5寸故选B.(2)设等差数列an
8、的公差为 d,由题意可得 a1(a1d)23,5a1542 d10,解得a14,d3,则 a9a18d48320.【答案】(1)B(2)20 题型二 等差数列的判定与证明【例 2】(2018南昌联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a112,an2SnSn1(n2)(1)求证:数列1Sn 是等差数列;(2)求 Sn 和 an.【解析】(1)证明 当 n2 时,anSnSn12SnSn1,因为 S1a10,由递推关系知 Sn0(nN*),将等式 SnSn12SnSn1,两边同除以 SnSn1,得 1Sn 1Sn12(n2),1S1 1a12,所以1Sn 是首项为 2,公差为 2 的等
9、差数列(2)因为 1Sn 1S1(n1)d2n,所以 Sn 12n.当 n2 时,anSnSn112n(n1),当 n1 时,a112不适合上式,所以 an12,n1,12n(n1),n2.【思维升华】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an1anan2后,可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1,根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法:得出anpnq后,得an1anp对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法:得出SnAn2Bn后,根据Sn,an
10、的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列 跟踪训练 2 已知数列an满足 a11,anan12an11(nN*,n2),数列bn满足关系式 bn 1an(nN*)(1)求证:数列bn为等差数列;(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明 bn 1an,且 anan12an11,bn1 1an11an2an12 1an,bn1bn2 1an 1an2.又 b1 1a11,数列bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为 bn1(n1)22n1,又 bn 1an,an 1bn12n1.数列an的通项公式为 an12n1.题型三 等差数列性质的应用 角度
11、一 等差数列项的性质【例3】(1)在等差数列an中,若a3a4a5a6a725,则a2a8_(2)已知an,bn都是等差数列,若a1b109,a3b815,则a5b6_【解析】(1)因为an是等差数列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525,所以a55,故a2a82a510.(2)因为an,bn都是等差数列,所以2a3a1a5,2b8b10b6,所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6),即2159(a5b6),解得a5b621.【答案】(1)10(2)21 角度二 等差数列前 n 项和的性质【例 4】(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S312,S9
12、45,则 S12_(2)在等差数列an中,a12 018,其前 n 项和为 Sn,若S1212S10102,则 S2 018 的值等于()A2 018 B2 016C2 019 D2 017【解析】(1)因为an是等差数列,所以S3,S6S3,S9S6,S12S9成等差数列,所以2(S6S3)S3(S9S6),即2(S612)12(45S6),解得S63.又2(S9S6)(S6S3)(S12S9),即2(453)(312)(S1245),解得S12114.(2)由题意知,数列Snn 为等差数列,其公差为 1,S2 0182 018S11(2 0181)1 2 0182 0171.S2 0182
13、 018.【答案】(1)114(2)A【思维升华】等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列an中,aman(mn)damanmn d(mn),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质:在等差数列an中,Sn 为其前 n 项和,则 S2nn(a1a2n)n(anan1);S2n1(2n1)an.跟踪训练 3(1)若两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为Sn 和 Tn,已知SnTn 7nn3,则a5b5等于()A7 B.23C.278D.214(2)已知等差数列an的公差为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数
14、为()A10B20 C30D40(3)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_【解析】(1)因为 a5a1a92,b5b1b92,所以a5b5a1a92b1b929(a1a9)29(b1b9)2S9T97993214.故选 D.(2)等差数列an的公差为 4,设项数为 n,前 n 项和为 Sn,则 S 偶S 奇d2n2n40,解得 n20,所以这个数列的项数为20.故选 B.(3)因为 S10,S20S10,S30S20 成等差数列,所以 2(S20S10)S10(S30S20),所以 4010S3030,所以 S3060.故填 60.【答案】(1)D(2)B(3)60