1、6.2 等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母d表示 第2项差公差(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的_.2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_ 等差中项a1(n1)d(2)前 n 项和公式：Snna1n（n1）2dn（a1an）2.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，
2、公差为_(nm)dakalaman2d(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.md【知识拓展】1等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.2等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数
3、列SnAn2Bn(A，B 为常数).3等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最大值；若 a10，则 Sn 存在最小值.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()【答案】(1)(2)(3)(4)1在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1 B0 C1D6【解析】由等差数列的性质，得a62a4
4、a22240，故选B.【答案】B 2已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A100B99 C98D97【解析】由等差数列性质，知 S99（a1a9）292a529a527，得 a53，而 a108，因此公差 da10a5105 1，a100a1090d98，故选 C.【答案】C 3设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7等于()A14B21 C28D35【解析】a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.【答案】C 4(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2 C4D8【解析】设an的
5、公差为 d，则 由a4a524，S648，得（a13d）（a14d）24，6a1652 d48，解得 d4.故选 C.【答案】C题型一 等差数列基本量的运算【例1】在等差数列an中，(1)已知a1533，a45153，求an；(2)已知a610，S55，求Sn；(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d0，求a1.【解析】(1)方法一 设首项为 a1，公差为 d，依条件得 33a114d，153a144d，解得a123，d4.所以 an23(n1)44n27.方法二 由 danamnm，得 da45a15451515333304，由 ana15(n15)d，得 an4n27.(2)因为 a
6、610，S55，所以a15d10，5a110d5.解得 a15，d3.所以 Sn5nn（n1）2332n2132 n.(3)设数列的前三项分别为 a2d，a2，a2d，依题意有：（a2d）a2（a2d）12，（a2d）a2（a2d）48，即a24，a2（a22d2）48，解得a24，d2.因为 d0，所以 d2，所以 a1a2d2.【思维升华】等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解
7、决问题跟踪训练1(1)周髀算经是中国古代的天文学和数学著作其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为()A五寸 B二尺五寸 C三尺五寸D一丈二尺五寸(2)已知an是等差数列，Sn 是其前 n 项和若 a1a223，S510，则 a9 的值是_【解析】(1)设晷长为等差数列an，公差为d，a115，a13135，则1512d135，解得d10.a2151025，易经中所记录的惊蛰的晷影长是2尺5寸故选B.(2)设等差数列an
8、的公差为 d，由题意可得 a1（a1d）23，5a1542 d10，解得a14，d3，则 a9a18d48320.【答案】(1)B(2)20 题型二 等差数列的判定与证明【例 2】(2018南昌联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a112，an2SnSn1(n2)(1)求证：数列1Sn 是等差数列；(2)求 Sn 和 an.【解析】(1)证明 当 n2 时，anSnSn12SnSn1，因为 S1a10，由递推关系知 Sn0(nN*)，将等式 SnSn12SnSn1，两边同除以 SnSn1，得 1Sn 1Sn12(n2)，1S1 1a12，所以1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等
9、差数列(2)因为 1Sn 1S1(n1)d2n，所以 Sn 12n.当 n2 时，anSnSn112n（n1），当 n1 时，a112不适合上式，所以 an12，n1，12n（n1），n2.【思维升华】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an
10、的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 跟踪训练 2 已知数列an满足 a11，anan12an11(nN*，n2)，数列bn满足关系式 bn 1an(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明 bn 1an，且 anan12an11，bn1 1an11an2an12 1an，bn1bn2 1an 1an2.又 b1 1a11，数列bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为 bn1(n1)22n1，又 bn 1an，an 1bn12n1.数列an的通项公式为 an12n1.题型三 等差数列性质的应用 角度
11、一 等差数列项的性质【例3】(1)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_(2)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_【解析】(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，所以a55，故a2a82a510.(2)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.【答案】(1)10(2)21 角度二 等差数列前 n 项和的性质【例 4】(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S312，S9
12、45，则 S12_(2)在等差数列an中，a12 018，其前 n 项和为 Sn，若S1212S10102，则 S2 018 的值等于()A2 018 B2 016C2 019 D2 017【解析】(1)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63.又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114.(2)由题意知，数列Snn 为等差数列，其公差为 1，S2 0182 018S11(2 0181)1 2 0182 0171.S2 0182
13、 018.【答案】(1)114(2)A【思维升华】等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)damanmn d(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn 为其前 n 项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.跟踪训练 3(1)若两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为Sn 和 Tn，已知SnTn 7nn3，则a5b5等于()A7 B.23C.278D.214(2)已知等差数列an的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数
14、为()A10B20 C30D40(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_【解析】(1)因为 a5a1a92，b5b1b92，所以a5b5a1a92b1b929（a1a9）29（b1b9）2S9T97993214.故选 D.(2)等差数列an的公差为 4，设项数为 n，前 n 项和为 Sn，则 S 偶S 奇d2n2n40，解得 n20，所以这个数列的项数为20.故选 B.(3)因为 S10，S20S10，S30S20 成等差数列，所以 2(S20S10)S10(S30S20)，所以 4010S3030，所以 S3060.故填 60.【答案】(1)D(2)B(3)60