1、第2节导数在研究函数中的应用考试要求1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，右侧f(x)0x
2、0附近的左侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论与微点提醒1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，所以“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增
3、”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x)，若f(x0)0
4、，则x0为极值点.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导函数异号.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(老教材选修22P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正.答案A3.(老教材选修22P26练习T1改编)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A.(0，1 B
5、.1，)C.(，1 D.1，0)(0，1解析由题意知f(x)2x(x0)，由f(x)0，得0x1.答案A4.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数yf(x)的图象易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中x10x20，由f(x)x0，得0x3.因为函数f(x)在区间a1，a1上单调递减，所以解得1a2.答案A6.(2020成都七中月考)若函数f(x)x34xm在0，3上的最大值为4，m_.解析f(x)x24，x0，3，当x0，2)时，f(x)0，
6、所以f(x)在0，2)上是减函数，在(2，3上是增函数.又f(0)m，f(3)3m.所以在0，3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.答案4第一课时导数与函数的单调性考点一讨论函数的单调性【例1】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x
7、)e2x0恒成立.若aa2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，0.规律方法1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.【训练1】 已知函数f(x)axln x(aR).(1)若a2，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间.解(1)当a2时，由已知得f(x)2(x0)，f(1)213，且f(1)2，所以切线斜率k3.所以
8、切线方程为y23(x1)，即3xy10.故曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xy10.(2)由已知得f(x)a(x0)，当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间(0，).当a0，在区间上，f(x)0.h(x)ax2.(1)若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min.又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，则a恒成立，设G(x)，所以aG(x)max.又G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)
9、maxG(此时x4)，所以a.又当a时，h(x)x2，x1，4，h(x)0，当且仅当x4时等号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是.【迁移1】 本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围.解因为h(x)在1，4上单调递增，所以当x1，4时，h(x)0恒成立，所以当x1，4时，a恒成立，又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1.【迁移2】 本例(2)中，若函数h(x)在区间1，4上不单调，求实数a的取值范围.解h(x)在区间1，4上不单调，h(x)0在开区间(1，4)上有解.则a1在(1，4)上有解.令m(x)1，x(
10、1，4)，易知m(x)在(1，4)上是增函数，1m(x)，因此实数a的取值范围是.规律方法1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.【训练2】 (2020赣州联考)已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)的图象在x1处相切，求g(x)；(2)若(x)
11、f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围.解(1)由已知得f(x)，所以f(1)1a，所以a2.又因为g(1)abf(1)0，所以b1.所以g(x)x1.(2)因为(x)f(x)ln x在1，)上是减函数.所以(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，因为x2，当且仅当x1时取等号，所以2m22，即m2.故实数m的取值范围是(，2.考点三函数单调性的简单应用多维探究角度1比较大小【例31】 (1)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.f
12、fC.ff D.ff(2)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()A.abc B.bcaC.acb D.cab解析(1)令g(x)，则g(x).由解得x；由解得0x，所以gg，所以，即ff.(2)设g(x)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是减函数.由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，所以g(3)g(e)g(ln 2)，即，故ca成立，若f(2)2，则不等式f(x)2x1
13、的解集为()A.(2，) B.(2，)C.(，2) D.(，2)解析f(x)f(x)ln 2f(x)0.令g(x)，则g(x)，g(x)2x1g(2)，所以x2.答案D规律方法1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.【训练3】 (1)(角度1)已知f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函
14、数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A.4f(1)f(2)C.f(1)4f(2)(2)(角度2)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x.若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.1，)C.(，2 D.2，)解析(1)设函数g(x)(x0)，则g(x)g(2)，即，所以4f(1)f(2).(2)令G(x)f(x)x2，则G(x)f(x)2x.当x0，)时，G(x)f(x)2x0.G(x)在0，)上是增函数.由f(a2)f(a)44a，得f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(a2)G(a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，知G(x)是偶
15、函数.故|a2|a|，解之得a1.答案(1)B(2)AA级基础巩固一、选择题1.函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()解析由函数f(x)的图象可知，f(x)在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，所以在(，0)上，f(x)0；在(0，)上，f(x)0，解得xf(1)fB.f(1)ffC.ff(1)fD.fff(1)解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f.答案A5.已知函数f(x)x34x
16、2ex2ex，其中e为自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.C. D.解析f(x)x242ex2exx242x20，f(x)在R上是增函数.又f(x)x34x2ex2exf(x)，知f(x)为奇函数.故f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)，a12a2，解之得1a.答案D二、填空题6.已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间为_.解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为，.答案，7.已知g(x)x2
17、2aln x在1，2上是减函数，则实数a的取值范围为_.解析g(x)2x，由已知得g(x)0在1，2上恒成立，可得ax2在1，2上恒成立.又当x1，2时，4.a.答案8.(2020西安调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有0的解集是_.解析当x0时，0，(x)在(0，)上为减函数，又f(2)0，即(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数，由数形结合知x(，2)时f(x)0.故x2f(x)0的解集为(，2)(0，2).答案(，2)(0，2)三、解答题9.已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(
18、1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f(x)(x0).又由题意知f(1)0，所以k1.(2)由(1)知，f(x)(x0).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减.由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)1时，g(x)0.(1)解由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，从而g(x)0.B级能力
19、提升11.(2020郑州调研)已知f(x)aln xx2(a0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围为()A.(0，1 B.(1，)C.(0，1) D.1，)解析对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则当x0时，f(x)2恒成立，f(x)x2在(0，)上恒成立，则a(2xx2)max1.答案D12.若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)2x B.f(x)x2C.f(x)3x D.f(x)cos x解析设函数g(x)exf(x)，对于A，
20、g(x)ex2x，在定义域R上为增函数，A正确.对于B，g(x)exx2，则g(x)x(x2)ex，由g(x)0得x0，g(x)在定义域R上不是增函数，B不正确.对于C，g(x)ex3x在定义域R上是减函数，C不正确.对于D，g(x)excos x，则g(x)excos，g(x)0在定义域R上不恒成立，D不正确.答案A13.已知函数f(x)xsin xcos xx2，则不等式f(ln x)f2f(1)的解集为_.解析f(x)xsin xcos xx2是偶函数，所以ff(ln x)f(ln x).则原不等式可变形为f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得x0时，f(x)0.所以f(x)在(
21、0，)上单调递增.|ln x|11ln x1x0).当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0时恒成立，所以a(x22x)(x1)2恒成立.令(x)(x1)2，x(0，)，则其最小值为.所以当a时，g(x)0恒成立.又当a时，g(x)，当且仅当x1时，g(x)0.故当a时，g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增.C级创新猜想15.(多填题)已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.则m_，f(x)的单调递减区间为_.解析由f(x)的图象过点(1，6)，得mn3，又g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn为偶函数，2m60，即m3，代入式，得n0.所以f(x)3x26x3x(x2).令f(x)0，得0x2，则单调递减区间为(0，2).答案3(0，2)
