1、考点过关检测（二十三）1椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为D，若直线AB与直线DF的交点为(3a,16)(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|2|PT|2为定值解：(1)由椭圆C的左顶点的坐标为A(a,0)，上、下顶点的坐标分别为B(0，b)，D(0，b)，右焦点的坐标为F(c,0)，可得直线AB的方程为yxb，直线DF的方程为yxb.因为直线AB和直线DF的交点为(3a,16)，所以解得b4且3a5c.又因为a2b2c2，解得a5，所以椭圆C的标准方程为1.(2)证明
2、：设直线l的方程为y(xm)，即xym，代入1并整理得25y220my8(m225)0.设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则y1y2m，y1y2.又因为|PS|2(x1m)2yy，同理|PT|2y，则|PS|2|PT|2(yy)(y1y2)22y1y241，所以|PS|2|PT|241，是定值2(2019资阳模拟)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)，B(2,0)，C三点(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：yk(x1)(k0)与椭圆E交于M，N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x4上解：(1)当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为1(ab0)，则a2.又点C
3、在椭圆E上，得1，解得b23.椭圆E的方程为1.当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为1(ab0)，则b2.又点C在椭圆E上，得1，解得a23，这与ab矛盾综上可知，椭圆E的方程为1.(2)证明：将直线l：yk(x1)代入椭圆E的方程1并整理，得(34k2)x28k2x4(k23)0.设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.直线AM的方程为y(x2)，它与直线x4的交点坐标为P，同理可求得直线BN与直线x4的交点坐标为Q.下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等y1k(x11)，y2k(x21)，0.因此结论成立综上可知，直线
4、AM与直线BN的交点在直线x4上3.(2019邯郸联考)如图，设椭圆C：1(ab0)的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点，直线y6x与椭圆C的交点到y轴的距离为，过点B作x轴的垂线l，D为l上异于点B的一点，以BD为直径作圆E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与C的另一个交点为P，证明：直线PF与圆E相切解：(1)由题可知，a2c，b23c2.设椭圆C的方程为1，由得|x|，c1，a2，b23，故椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)可得F(1,0)，设圆E的圆心为(2，t)(t0)，则D(2,2t)，圆E的半径R|t|，直线AD的方程为y(x2)设过F与圆E相切的直线
5、方程为xky1，则|t|，整理得k.由得又1，直线PF与圆E相切4已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：yk(x4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程解：(1)由右焦点为F2(1,0)，知c1.由题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)由直线l的方程为yk(x4)知，直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知，点G在直线xx0(x0R)上当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，此时直线l的斜率k，由解得或所以N.由(1)知A1(2,0)，A2(2,0)，所以直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，联立两直线的方程得G，可知点G在定直线x1上当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并整理，得(34k2)x232k2x64k2120，则(32k2)24(34k2)(64k212)0，解得k，x1x2，x1x2，直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，当x1时，由，得2x1x25(x1x2)80，而0显然成立，所以点G在定直线x1上综上所述，点G在定直线x1上
