1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷1KS5U2015 广东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合5,4,3,1,0,2U，集合2,4,3,0A，4,3,2,1,0B，则)(BACUA2,4,3,0B2,0C5,1D5,1,0,22设i 为虚数单位，复数21zi+2，则 z 的共轭复数为A 2iB2iC22iD 22i3已知向量 a=(1,-1)则下列向量中与向量 a 平行且同向的是A（2,-2）B（-2,2）C.（-1,2）D（2,-1）4已知实数yx,满足不
2、等式组320,0 xyxyxy 若 z=x-y，则 z 的最大值为A3B4C5D65抛物线218yx上到焦点的距离等于 10 的点的坐标为A(-8,8)B(8,8)C(-8,-8)或(8,-8)D(-8,8)或(8,8)6图 1 为某村 1000 户村民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在50,100)的用户数为A1，用电量在100,150)的用户数为 A2，以此类推，用电量在300,350的用户数为 A6，图 2是统计图 1 中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图根据图 1 提供的信息，则图 2中输出的 s 值为A820B720C620D520高考资源网（）您身边的
3、高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷27已知正四棱锥底面边长为 1 高为 2，俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积不可能等于A2B2.5C 2 31D 2 218若1(ln)ln1,lnexxxxaxd，10019922989911001001001002222aCaCaCa 被 10 除得的余数为A3B1C9D7二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9不等式13 x x 的解集是.102yxkx，在1x 处的切线与1yx 垂直，则 k 的值是.11已知四个学生和一个老师共 5 个人排队，那
4、么老师排在中间的概率是.12在 ABC,内角,A B C 所对的边长分别为,.a b cbABcCBa2cossin2cossin2且 ab,则B _13在正项等比数列na 中，7263aaaa42e则81 lnlnaa 的最大值为.（二）选做题（14-15 小题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy 中，直线xy与圆1 cos,(sinxy 为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为.15（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中 AB=4 为直径，直线CE 与圆O 相切于点C，ADCE于点D，若1AD，ACD，则cos=_高考资源网（）您身边的高考专家
5、版权所有高考资源网2015 高考压轴卷3三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分 12 分）已知)32sin()(xxf（1）求)2(f的值（2）若 为锐角，33)2()2(ff，求tan的值17（本小题满分 12 分）测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取 100 尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图 3（1）求 a 的值；（2）若重量在25,35，35,45 中采用分层抽样方法抽出 8 尾作为特别实验，那么在35,45 中
6、需取出几尾？（3）从大量马口鱼中机抽取3 尾，其中重量在5,15 内的尾数为，求 的分布列和数学期望.18.（本小题满分 14 分）如图 4,已知四棱锥 PABCD-，底面 ABCD 是正方形，PA 面 ABCD，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷4点 M 是CD 的中点，点 N 是 PB 的中点,连接 AM,ANMN,.(1)若 PA=AB,求证：AN 平面 PBC（2）若5MN=,3AD，求二面角 NAMB-的余弦值.19.（本小题满分 14 分）已知各项均为正数的数列 na的前 n 项和为ns，11a，214 nnsa-4n-1,nN（1）求23,a a
7、 的值；（2）求数列 na的通项公式；（3）证明：nN，有122334111111111nna aa aa aa a 1220（本小题满分 14 分）若在平面直角坐标系中，已知动点 M 和两个定点 1F2,0，2F2,0,且124MFMF 1 求动点 M 轨迹C 的方程；2 设 为坐标原点，若点 E 在轨迹 C 上，点 F 在直线2y 上，且OEOF，试判断直线 EF 与圆高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷5222xy的位置关系，并说明理由21.（本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3xf xaxxax aR.(1)若0a，判断()f x 的单
8、调性(2)若()yf x在4,)上为增函数,求实数 a 的取值范围;(3)当12a 时,方程31(1)3xbfxx有实根,求实数b 的最大值.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷6KS5U2015 广东省高考压轴卷数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1.【答案】C解析由5,4,3,1,0,2U，2,4,3,0 BA则)(BACU=5,12.【答案】C解析21zi+2=2i+2=2+2i 所以 z 的共轭复数是 22i3.【答案】A（解析2,-2）=2（1，-1）所以选 A4.【答案】A解析作出不等式组320,0 xyxyxy 所对应的可行域变形目标函数
9、y=x-z平移直线 y=x-z 可知，当直线经过点（3，0）时，z 取最大值，代值计算可得 z=x-y 的最大值为 35.【答案】D解析可以化为 x2=8y,的 准线方程为 y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为 y=8，代入x2=8y,可以得 x=8 或 x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8）6.【答案】A.解析由图 2 知，输出的2345+sAAAA，由图 1 知16(0.00240.0012)50 1000AA=180,故 s=1000-180=820，选 A.7.【答案】D解析因为正视图最小值为他的一个侧面1 22，最大值为对角面 222 2，所以正视图取值范围为
10、 2,2 2，而 2 21 不在范围内.8.【答案】B解析由1(ln)ln1,lnexxxxaxd，可知(ln)lnxxxx，所以11ln(ln)1,1eexxdxxxa，10019922989911001001001002222aCaCaCa =100100(2)3a，10050505049148249495050505039(10 1)10101010(1)(1)CCC 所以余数为 1二填空题高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷79.【答案】),21()41,(解析原不等式等价于 3x-1x 或 3x-1-x 可得答案),21()41,(10.【答案】3解析
11、导函数为 y=2x-k 又在 x=1 处的切线与 y=x+1 垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1所以 k=311.【答案】15解析因为 5 个人排法有 5 的全排列有 120 种，老师在中间其余 4 人在老师两边任意排，排法有 4 的全排列 24 种，老师中间的概率为 241120512.【答案】45解析bABcCBa2cossin2cossin2根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=22 sinB,sinAcosC+cosAsinC=22Sin(A+C)=sin(180-B)=sinB=22 又 ab所以 AB 所以 B=4513【答案】4解析由等比数
12、列性质知4817263eaaaaaa，81 lnlnaa 4)2ln()2ln()2lnln(24281281eaaaa当281eaa时取等号14【答案】)4,2(或其他形式解析y=-x 与圆1)1(22yx交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为)4,2(15【答案】23解析根据弦切角定理得，BCA与CDA相似，所以ACACACADABAC14,，2,42ACAC在直角三角形 ACD 中可得3CD，cos=23三解答题16.解：（1）)2(f=233sin)3sin(-4 分（2）高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷83cos)2sin(3sin2cos3
13、cos2sin)32sin()32sin()2()2(ff+332cos33sin2cos23sin)2cos(所以312cos，2cos2-1=31又 为锐角，所以36cos，33cos1sin2，所以22cossintan12 分17解：(1)由题意，得0.020.0320.018101x，解得0.03x.2 分（2）25,35，35,45频数分别 30 个和 18 个，按分层抽样知 35,45中取18848 3个4 分（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在5,15 内性成熟的概率为0.2，则13,5B.的取值为0,1,2,3，6 分30346405125PC，2131448155125PC
14、 ，2231412255125PC，3331135125PC.10 分 的分布列为：-11 分6448121301231251251251255E .12 分（或者133 55E ）18.解：（1）证明：PA 面 ABCD，BC 面 ABCD，PABC又 ABCD 为正方形，BCAB又,.PAABA PA AB面 PAB BC 面 PAB0123P6412548125121251125高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷9AN 面 PAB，BCAN，又 PA=AB,点 N是 PB 的 中 点,ANPB且,.PBBCB PB BC平面 PBCAN 平面 PBC-4
15、 分（2）NEPA/，PA 面 ABCD，NE 面 ABCD.在 Rt NEM 中，5MN=,3MEAD，得224NEMNME，以点 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，6 分则3330 0 0300004222AMEN,.，3042AN,，3(3,0)2AM 设平面 AMN 的法向量为 nx y z,，由 n0AM，n0AN，得33023402xyyz,.令1x，得2y ，34z.n312 4,是平面 AMN 的一个法向量.11 分又(0,0,1)m 是平面 AMB 的一个法向量，cos,n mn mnm 3
16、 8989二面角 NAMB-的余弦值为 3 8989.14 分高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷1019.解：（1）由214 nnsa-4n-1 得 42124 1sa 因为na 0，11a，所以2145aa，所以23,a 据而可得35a-2 分（2）214 nnsa-4n-1-（1）当 n2，2144(1)1nnsan -（2）由（1）-（2）得22144,nnnaaa即221(2)(2)nnaan 因为na 0，所以112,2(2)nnnnaaaa又212aa，所以数列 na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以na=21n .-8 分（或用数学归纳法
17、）（3）11111111(),1(21)(21)2 2121nnnna aa annnn所以122334111111111nna aa aa aa a 1111111111(1)(1)23352121221242nnnn 12-14 分20解：（1）由题意知：121242 2MFMFF F所以，由椭圆的定义可知：动点 M 运动的轨迹是:以1F，2F 为焦点，长轴长为 4，焦距为22的椭圆，且短半轴长为22222所以轨迹C 的方程为12422 yx-4分（2）直线 EF 与圆222 yx相切证明如下：设点(,)E m n，(,2)F t，显然其中0m,因为OEOF，所以0OE OF，即20tmn
18、，所以2ntm高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷111直线 EF 的斜率不存在时，即tm 时，22tn，代入椭圆方程可得：222242tt，解得：2t，此时直线 EF 的方程为2x或2x，显然与圆222 yx相切.当直线 EF 的斜率存在，即tm 时，直线 EF 的方程为：22()nyxtmt，即(2)()20nxmt ymtn(9分)此时，圆心)0,0(O到直线 EF 的距离222(2)()mtndnmt又因为4222 nm，2ntm所以22222222(2)()22424nmnmtnmdnmtnnmnnmmm=4422222222mnnmmnm=42824
19、42222222mmmmmmm=2216842242mmmmm，所以，直线 EF 与圆222 yx相切综上，直线 EF 与圆222 yx相切(14分)21.解:（1）若0a 则32()3xf xx所以当0a 时,()(2)fxx x,当()(2)fxx x0 得2x 或0 x 当()(2)fxx x 0 时得02x，所以()f x 的单调增区间为(,0),(2,)，减区间为(0,2)-3 分(2)因为()f x 在区间为4,)上增函数,高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷12所以222(1 4)(42)()021xaxa xafxax在区4,)上恒成立当0a 时
20、,()(2)0fxx x在4,)上恒成立,所以()f x 在4,)上为增函数,故0a 符合题意当0a 时,由函数()f x 的定义域可知,必须有 210ax 对4x 恒成立,故只能0a,所以222(1 4)(42)0axa xa在恒成立令22()2(1 4)(42)g xaxa xa,其对称轴为114xa,因为0a 所以1114a,从而()0g x 在4,)上恒成立,只要(4)0g即可,因为2(4)41620gaa 解得 43 243 222a因为0a,所以.43 202a综上所述,a 的取值范围为43 20,2-8 分(3)若12a 时,方程31(1)3xbfxx可化为2ln(1)(1)bxxxx.问题转化为223ln(1)(1)lnbxxxxxxxxxx在0,上有解,即求函数23()lng xxxxx的值域因为2()(ln)g xxxxx,令2()lnh xxxx,则1(21)(1)()1 2xxh xxxx,所以当01x 时()0h x,从而()h x 在0,1 上为增函数,当1x 时()0h x,从而()h x 在1,上为减函数,因此()(1)0h xh.而0 x,故()0bx h x,因此当1x 时,b 取得最大值 0-14 分高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2015 高考压轴卷13
