1、考点测试7函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数，若f(0.5)9，则f(8.5)等于()A9 B9 C3 D0答案B解析因为f(x1)是奇函数，所以f(x1)f(x1)，即f(x)f(x2)又因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x2)f(x4)，故f(x)的周期为4，所以f(8.5)f(0.5)9.故选
2、B.2设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(3)的值是()A1 B3 C3 D1答案C解析因为函数f(x)且f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)，所以log2(13)g(3)1，则g(3)3.故选C.3已知函数f(x)的定义域为R.当x时，ff，则f(6)()A2 B1 C0 D2答案D解析当x0时，x，所以ff，即f(x1)f(x)，所以f(6)f(5)f(4)f(1)f(1)2.4已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)4x22，设g(x)f(x)2x2，若g(x)的最大值和最小值分别为M和m，则Mm()A1 B2 C3 D4答案B解析由g(x)f(x)2x2，得g(x)f(x
3、)2x2，两式相加，可得g(x)g(x)2，故g(x)的图象关于(0,1)对称，其最高点、最低点也关于(0,1)对称，所以Mm2，故选B.5已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为()A B C D答案B解析解法一：设x0，所以f(x)x2x，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x2，所以当x0时，f(x)x2x2，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为.故选B.6已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B
4、7 C8 D9答案B解析当0x2时，令f(x)x3xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x4时，0x22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)3(x2)(x2)(x1)(x3)，所以当2x4时，f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x32，x43.同理可得，当4x6时，f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x54，x65.当x76时，也符合要求综上可知，共有7个交点7若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B(exex)Cexex D(exex)答案D解析因为
5、f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)(exex)故选D.8已知偶函数f，当x时，f(x)xsinx，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则()Aabc BbcaCcba Dcab答案D解析当x时，ysinx为增函数，yx也为增函数，函数f(x)xsinx在上也为增函数函数f为偶函数， ff，f(x)的图象关于直线x对称，f(2)f(2)，f(3)f(3)，0312，f(3)f(1)f(2)，即cab，故选D.9已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若不等式f(a)f(x)对任意x1,2恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B
6、1,1C(，2 D2,2答案B解析因为函数f(x)为偶函数，且在(，0上是增函数，所以函数f(x)在0，)上是减函数，则不等式f(a)f(x)对任意x1,2恒成立等价于f(a)f(x)maxf(1)，所以|a|1，解得1a1，即实数a的取值范围为1,1，故选B.10已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因为奇函数f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上是增函数又因为函数f(x)满足f(x4)f
7、(x)，所以f(x8)f(x4)f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(25)f(1)f(0)f(80)f(11)f(3)f(1)f(1)故选D.11若f(x)xln (x)为偶函数，则实数a_.答案1解析因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln (x)xln (x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即实数a1.12设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)0，则实数m的取值范围为_答案解析f(x)的定义域是2,2，即2m1，又f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在0,2上单调递减，f(x)在2,0上也单
8、调递减，f(x)在2,2上单调递减，又f(1m)f(m)0，即f(1m)f(m)f(m)，1mm，即m，由可知m1.二、高考小题13(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50答案C解析因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，且f(1x)f(1x)，所以f(1x)f(x1)，所以f(3x)f(x1)f(x1)，所以T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(
9、4)0，因为f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，故选C.14(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2 B1,1C0,4 D1,3答案D解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选D.15(2017天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为(
10、)Aabc BcbaCbac Dbca答案C解析依题意ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1)因为奇函数f(x)在R上是增函数，可设0x1x2，则0f(0)f(x1)f(x2)从而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)g(x2)所以g(x)在(0，)上也为增函数又log25.10,20.80,30，且log25.1log283,20.8213，而20.821log24log25.1，所以020.8log25.13，所以bac.故选C.16(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，则x0.当x0.若在区间(0,
11、9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_答案解析当x(0,2时，yf(x)(x1)2y21(y0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0,9上的图象如图所示当x(1,2时，g(x)，又g(x)的周期为2，当x(3,4(5,6(7,8时，g(x).由图可知，当x(1,2(3,4(5,6(7,8时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，当x(0,1(2,3(4,5(6,7(8,9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点又当x(0,1时，yg(x)k(x2)(k0)恒过定点A(2,0)，由图可知，当x(2,3(6,7时，f(x)与g(x)的图象无交点，当x
12、(0,1(4,5(8,9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点由f(x)与g(x)的周期性可知，当x(0,1时，f(x)与g(x)的图象有2个交点当yk(x2)与圆弧(x1)2y21(0x1)相切时，d1k2(k0)k.当yk(x2)过点A(2,0)与B(1,1)时，k.k.三、模拟小题18(2019安徽省江淮十校第一次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(log313)f(20.6)Bf(3)f(20.6)f(log313)Cf(20.6)f(log313)f(3)Df(20.6)f(3)f(log313)答案C解析根据题意，知函数f(x)是
13、定义在R上的偶函数，则f(3)f(3)，f(log313)f(log313)，因为20.62log313log3273，f(x)在(0，)上单调递增，所以f(20.6)f(log313)bc BcabCbca Dacb答案D解析因为偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)因为0.80.5cb，故选D.20(2019广东韶关调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间(，0上为减函数，若f(2m)f(2)，则实数m的取值范围是()A(，1) B(1,1)C(1，
14、) D(，1)(1，)答案D解析因为f(x)是R上的偶函数，又因为函数f(x)在区间(，0上为减函数且f(2m)f(2)，所以2m2或2m1或m1.故选D.21(2019四川省乐山市高三第一次调查)已知函数f(x)满足：f(x)f(x)0，且当x0时，f(x)1，则f(1)()A. B C D答案C解析f(x)f(x)0，f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)1，由f(0)10，得m1，当x0时，f(x)1，f(1)f(1).故选C.22(2019泉州市普通高中毕业班质检)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)2xcosx，则下列结论正确的是()Afff(2
15、018)Bf(2018)ffCf(2018)ffDfff(2018)答案C解析因为f(x)为奇函数，所以f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，从而得f(x)的周期为4.所以f(2018)f(2)f(0)，fff，fff，又因为f(x)在0,1上单调递增，所以f(0)ff，即f(2018)ff.故选C.23(2020湖北黄冈高三摸底)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确命题的序号是_(请把
16、正确命题的序号全部写出来)答案解析因为f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立，令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(x)在1,0上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在0,1上为增函数f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期T4，即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为f(x)为奇函数，所以f(2x)f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称因为f(x)在0,1上为增函数，又关于直线x1对称，所以f(x)在1,2上为减函数由f(x2)f(x)
17、，令x0得f(2)f(0)f(0)一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019北京东城区模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，且a1)(1)求函数f(x)g(x
18、)的定义域；(2)判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使f(x)g(x)0成立的x的集合解(1)由题意得1x1，所求定义域为x|1x1(2)f(x)g(x)为奇函数证明如下：令H(x)f(x)g(x)，则H(x)loga(x1)loga(1x)loga，H(x)logalogaH(x)，H(x)f(x)g(x)为奇函数(3)f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)loga(1x2)1时，01x21，0x1或1x0.当0a1，不等式无解，综上，当a1时，使f(x)g(x)0成立的x的集合为x|0x1或1x03(2019山东枣庄高三阶段考试)设f(x)是(，)上的奇函数，
19、f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积解(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数f(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.4(2019河南商
20、丘市模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有ff恒成立(1)证明f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解(1)由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又因为T3是f(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以实数a0.
