1、文科数学试题第页共 4 页1文科数学试题考试时间：120 分钟试卷满分：150 分注意事项：1.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分；请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。2.请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。3.回答选择题时，请务必使用 2B 铅笔把你所选的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。4.回答非选择题时，须在与题号对应的答题框内作答，否则答题无效，注意字迹清楚，卷面整洁。第 I 卷 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分1.设集合0128|2xxNxA，B2log(1)2xx，则BA(
2、)A35xxB25xxC4,3D54,3，2.复数2)i1)(i3(z，则|z（）A24B4C32D223.已知函数)33(2)(xxxxf，对Rnm,则“0 nm”是“0)()(nfmf”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D.一个三棱锥四个面可以都为直角三角形5.下列函数图像中，不可能是函数)2,(cos)(kZkxxxfk的图像是（）ABCD6.函数)32tan(2)(xxf的对称中心坐标是()A)0,6(BZkk)0
3、,6(CZkk)0,62(DZkk)0,64(7.命题 p:数715121，能成为等差数列的项（可以不是相邻项），命题 q：数7,5,2能成为等比数列的项（可以不是相邻项），则命题 p、q 的真假情况是（）A.p 真、q 真B.p 真、q 假C.p 假、q 真D.p 假、q 假2019级高三文科数学开学考试文科数学试题第页共 4 页28.已知抛物线)0(22ppxy，点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点，若2AOB（O 为坐标原点）,弦 AB 恒过定点)0,4(，则抛物线方程为（）A.xy22 B.xy42 C.xy82 D.xy162 9.九章算术中介绍了一种“更相减损术”，该方法对研究
4、两个整数间关系十分优越，将该方法用算法流程图表示如图，若输入0,12,27iba则输出的结果为（）A.2,15iaB4,9iaC5,3iaD6,3ia10.已知 a，b 为实数且0ab，则下列所给 4 个不等式中一定成立的序号是（）1111ba2021202120222022ba222abab 114ababA.B.C.D.11.已知21,FF是双曲线：)0,0(12222babyax的左右焦点，曲线：2222bayx与曲线 在二、四象限的交点分别是QP,四边形21QFPF的周长 L 和面积 S 满足SL34,则双曲线 的离心率是（）A.2B.5C.25D.2612.已知定义域为 R 的函数x
5、xfxfsin2)()(，又当0 x时，1)(xf，则关于 x 的不等式)65sin(3)3()(xxfxf的解集为（）A.),6B.),6C.)6,(D.)6,(第卷 选择题（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分.13.若实数yx,满足约束条件001022yxyx，则yxz2的最小值为14.立德中学对 2022 届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生 24 人，其平均数和方差分别为 12、4，抽查女生 16 人，其平均数和方差分别为 10、6，则本次调查的总样本的方差是15.三棱锥BCDA中，ABC为边长为 3 的等边三角形，13
6、,CDCDBC,且BCDABC面面，则三棱锥BCDA的外接球的体积为文科数学试题第页共 4 页316.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是以其名字命名的重要定理，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD 是其两条对角线，BCDAC,2为正三角形，则
7、 ABD面积的最大值为_；四边形 ABCD 的面积为_.（注：圆内接凸四边形对角互补）三、解答题17.（本小题满分10分）已知数列na中，前 n 项和为nS，且满足NnSnn，)14(32,设.log2nnab()分别求na和 nb的通项公式；()求数列)3)(1(4nnbb的前前 n 项和nT.18.（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD 为ABC的中线，2 5c，2 5cos5B，222221 tanbbcaA.（）求角 C 的大小；（）求 AD 的长.19.（本小题满分 12 分）医学统计表明，X 疾病在老年人中发病率较高.已知某地区老年人的男女比例为
8、3:2，为了解 X 疾病在该地区老年人中发病情况，按分层抽样抽取 100 名老人作为样本，对这 100 位老人是否患有 X疾病进行统计，得条形图如下所示.（）完成下列 22 列联表，并判断有没有 90%的把握认为患 X 疾病与性别有关？（）在这 100 个样本中，将未患 X 疾病老年人按年龄段85,8080,7575,7070,6565,60，分成 5 组，得频率分布直方图如图二所示.求未患病老年人的中位数（精确到小数点后一位）.男性女性合计患有 X 疾病未患 X 疾病文科数学试题第页共 4 页4合计20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，1AB ，2
9、AD，PA 平面ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：/PB平面 AEC；（）若三棱锥 PABD的体积为 13，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值；（）在第二问的条件下，若 M 为线段 PB 中点，N 为线段 BC 上的动点，平面 AMN 与平面 PBC 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由21.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为63的椭圆2222:1(0)xyCabab过点6(1,)3M（）求椭圆C的标准方程；（）若直线0 xym上存在点G，且过点G 的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数 m 的取值范围22.（本小题满分 12 分）已知
10、函数.,1)1(ln)(Rmxxmxxf（）若2x是函数)(xf的极值点，求 m 的值及函数)(xfy 图像在点)1(,1(f处的切线方程；（）若函数)(xf在，21上单调递增，求 m 的取值范围；（）设0 ba，证明：2lnlnbababa.第页12019级高三文科数学开学考试文科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBCDCDBBDCCA二、填空题13.014.5.7615.612516.343；三、解答题17.解：（1）由)14(32nnS知，当2n时，)14(321-1-nnS两式相减，得12112)14(32)14(32nnnnnnSSa即)2(212 nan
11、n当 n=1 时，2)14(3211 Sa满足上式)(2*12Nnann12log2nabnn综上可知：)(2*12Nnann)(12*Nnnbn.5 分（2）由（1）知111)22(24)3)(1(4nnnnbbnn111111141313121211nnnnnTnL.10 分18.解：（）在ABC中，由余弦定理，得2222cosbcabcA，所以2cossin22coscosAAbbcAA，所以cossinbcAA，由正弦定理，得sinsincossinBCAA，所以sinsincossinACCAA，即sincoscossinsincossinsinACACCACA，所以sincossi
12、nsinACCA.因为sin0A，所以cossinCC，所以 tan1C ，又0C，所以34C.6 分（）因为2 5cos5B，0,B，所以5sin5B.第页2因为10sinsinsincossincos10ABCBCCB，因为 sinsincaCA，所以102 5sin102sin22cAaC，所以1BD ，在ABD中，2222cosADABBDAB BDB，即22 520 1 2 2 5 1135AD ，所以13AD.12 分19.解：（）由条形图知男性共 60 人，女性共 40 人，未患有 X 疾病男性有 40 人，未患有 X 疾病女性 25 人，完成 22 列联表如下：男性女性合计患有
13、 X 疾病201535未患 X 疾病402565合计6040100计算：706.2182.065354060)15402520(10022K所以，没有 90%的把握认为患 X 疾病与性别有关.6 分（）由频率分布直方图得：15)325123251832593253(a，得32523a设中位数为b，则7570 b.由2132523532523532523)70(b，得5.74b平均数6.745325122858032518280753252327570325927065325326560X即未患病老人的年龄中位数约为 74.5，平均数约为 74.6.12 分20.证明：（）设 BD 与 AC 的
14、交点为O，连结 EO，底面 ABCD 是矩形，O是 BD 的中点，又E为 PD 的中点，/EOPB，EO 平面 AEC，PB 平面 AEC，/PB平面 AEC.4 分（）1133P ABDABDVSPA，又112ABDSAB AD，1PA又 PA 底面 ABCD，CD 底面 ABCD，所以 PACD在矩形 ABCD 中,ADCD，PAADA，,PA AD 平面 PAD，第页3所以CD 平面 PAD，则直线 PC 与平面 PAD 所成角为CPD所以15tan55CDCPDPD所以直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值为55.8 分（）平面 AMN 与平面 PBC 互相垂直，理由如下：因为 P
15、A 底面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PABC因为 ABCD 为正方形，所以 ABBC又 PAABA，且 PA，AB 平面 PAB，所以 BC 平面 PAB 因为 AM 平面 PAB，所以 AMBC因为 PAAB，M 为线段 PB 的中点，所以 AMPB，又 PBBCB，且 PB，BC 平面 PBC，所以 AM 平面 PBC，因为 AM 平面 AMN，所以平面 AMN 平面 PBC.12 分21.解：（）由题意，2226,3,caabc解得223ab，又221213ab，解得223,1,ab所以椭圆 C 的标准方程为2213xy.4 分（）当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时
16、，另一条切线必垂直于 y 轴，易得(3,1)G；.6 分当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设000(,),3G x yx 切线方程为00()yk xxy，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30kxk kxy xkxy，22200006()4(31)3()30k kxykkxy，化简得：2200()(31)0kxyk，由此得2220000(3)210 xkx y ky，.8 分设过点G 的椭圆C的切线的斜率分别为12,k k，所以20122013yk kx因为两条切线相互垂直，所以2020113yx，即220004(3)xyx，.9 分由知G 在圆22004xy上，又点G
17、在直线0 xym上，所以直线0 xym与圆224xy有公共点，所以21 1m，所以 2 22 2m.11 分综上所述，m 的取值范围为 2 2,2 2.12 分22.解：（）由题意得：222)1(1)22()1()1()1(1)(xxxmxxxmxmxxf由2x是函数)(xf的极值点，第页4得0)2(f，解得49m，经检验49m符合题意.所以81)1(f，又0)1(f故在点)1(,1(f处的切线方程为：018 yx.3 分（）由22)1(1)22()(xxxmxxf及)(xf在，21上单调递增得0)1(1)22()(22xxxmxxf在，21上恒成立得01)22(2xmx在，21上恒成立即xxm122在，21上恒成立易得2)1(min xx在，21上所以222m，得2m.7 分（）因0 ba要证2lnlnbababa只需证bababa)(2lnln即证)1()1(2lnbababa，亦即0)1()1(2lnbababa设)1(,tbat，记1)1(2ln)(xxxxg由（）知)(xg在,1单调递增所以0)1()(gtg即0)1()1(2lnbababa故得证.12 分
