1、8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念学 习 目 标核 心 素 养 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义(难点)2体会平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)3会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直(重点，难点)1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养2利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类
2、似的运算应用那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容 问题(1)功与向量的数量积有什么联系？(2)数量积的几何意义是什么？提示(1)物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积(2)两个非零向量 a 与 b 的数量积，等于向量 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积1两个向量的夹角给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作OA a，OB b，则称0，内的AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作a，b(1)两个向量夹角的取值范围是0，且a，bb，a(2)当a，b2时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 ab规定：零向量
3、与任意向量垂直思考：在ABC 中，向量AB与向量BC的夹角是角 B 吗？为什么？提示 不是向量AB与向量BC的夹角是角 B 的补角2向量数量积一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向量 a 与 b 的数量积(也称为内积)，即 ab|a|b|cosa，b(1)当a，b0，2 时，ab0;当a，b2时，ab0；当a，b2，时，a b0.(2)两个非零向量 a，b 的数量积的性质：不等式|ab|a|b|恒等式aaa2|a|2，即|a|aa 向量垂直的充要条件ab ab0 思考：(1)向量的数量积 ab 与向量加法、减法和数乘的区别是什么？(2)根据向量数量积的定义，如何求
4、两个非零向量 a 与 b 的夹角？(3)|ab|a|b|中等号何时成立？提示(1)向量的数量积 ab 是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向(2)先求 cosa，b ab|a|b|，再根据余弦值求a，b(3)当 a 与 b 共线时，等号成立3向量的投影与向量数量积的几何意义(1)作法：设非零向量ABa，过 A，B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 A，B.(2)结论：称向量AB 为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影(3)投影的数量：如果 a，b 都是非零向量，则称|a|cosa，b为向量 a 在向量b 上的投影的数量(4)向量数量积的几何意义：两个非零向
5、量 a，b 的数量积 ab，等于 a 在向量 b上的投影的数量与 b 的模的乘积思考：一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？提示 一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的()(2)若非零向量 a 与 b 共线，则a，b0.()(3)ab 不能写成 ab，也不能写成 ab()提示(1).由两个向量夹角的定义可知(2).若非零向量 a 与 b 共线，则a，b0或a，b180.(3).两个向量的数量积只能表示为 ab答案(1)
6、(2)(3)2若|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为 60，则 ab()A12 B14 C1 D2C ab|a|b|cos 6021121.3已知|a|9，|b|6 2，ab54，则 a 与 b 的夹角 为()A45B135 C120D150B cos ab|a|b|5496 2 22.又因为 0，所以 34，即 135.4.如图，在ABC 中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为_互补 根据向量夹角定义可知向量AB，AC 夹角为BAC，而向量CA，AB夹角为 BAC，故二者互补平面向量数量积的概念与运算【例 1】(1)以下四种说法中正确的是_(填序号)如果 ab0，则 a0 或 b
7、0；如果向量 a 与 b 满足 ab0，则 a 与 b 所成的角为钝角；ABC 中，如果ABBC0，那么ABC 为直角三角形；如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2b2.(2)已知等腰ABC 的底边 BC 长为 4，则BABC_.思路探究 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)(2)8(1)由数量积的定义知 ab|a|b|cos(为向量 a，b 的夹角)若 ab0，则 90或 a0 或 b0，故错；若 ab0，则 为钝角或 180，故错；由ABBC0 知 B90，故ABC 为直角三角形，故正确；由 a2|a|21，b2|b|21，故正确(2)如图，过点 A 作 ADBC，
8、垂足为 D 因为 ABAC，所以 BD12BC2，于是|BA|cosABC|BD|12|BC|1242，所以BABC|BA|BC|cos ABC428.1在书写数量积时，a 与 b 之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写2求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 ab|a|b|cos.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 ab跟进训练1(多选题)已知 a，b，c 是三个非零向量，下列选项正确的是()Aab|a|b|abBa、b 反向ab|a|b|Cab|ab|ab|D|a|b|ac|bc|ABC 因为 a，b，
9、c 为三个非零向量，若|ab|a|b|cos|a|b|cos|1，cos 10 或 ab，故 A正确a，b 反向cos 1ab|a|b|，故 B 正确abab0|ab|2|ab|2|ab|ab|，故 C 正确若|a|b|，a，c与b，c不一定相等，故|ac|bc|不成立，当|ac|bc|时，只能说明 a，b 在 c 上的投影相等，但|a|b|不一定成立，故 D 错误向量数量积的几何意义【例 2】(1)(一题两空)已知|a|3，|b|5，且 ab12，则 a 在 b 方向上投影的数量为_，b 在 a 方向上投影的数量为_(2)在ABC 中，已知|AB|5，|BC|4，|AC|3，求：ABBC；A
10、C在AB方向上的投影的数量思路探究(1)依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值(2)判断三角形的形状，求有关角的余弦值，依据ABBCBABC求值 依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值(1)125 4 ab|a|b|cosa，b12，所以向量 a 在向量 b 方向上投影的数量为|a|cosa，bab|b|125 125；向量 b 在向量 a 方向上投影的数量为|b|cosa，bab|a|123 4.(2)解 因为|AB|5，|BC|4，|AC|3，所以ABC 为直角三角形，且 C90.所以 cos AACAB35，cos BBCAB45.ABBCBABC544516.|AC
11、|cosAC，ABACAB|AB|3535595.求向量的投影或其数量的关注点和计算方法 1关注点：注意 a 在 b 上的投影与 b 在 a 上的投影不同，审题时要看清.2向量 a 在 b 所在直线上的投影是一个向量，向量 a 在 b 所在直线上的投影的数量是一个实数.3计算方法：a 在 b 方向上的投影的数量为|a|cosa，bab|b|，b 在 a 方向上的投影的数量为|b|cosa，bab|a|.跟进训练2(1)已知向量 b 的模为 1，且 b 在 a 方向上的投影的数量为 32，则 a 与 b 的夹角为()A30 B60 C120 D150(2)已知向量 a 在向量 b 上的投影的数量
12、是 2，|b|3，则 ab_.(1)A(2)6(1)因为向量 b 的模为 1.且 b 在 a 方向上的投影的数量为 32，则|b|cosa，b 32，得 cosa，b 32，因为a，b0,，所以a，b630.(2)因为向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|3，则 ab|a|b|cosa，b(|a|cosa，b)|b|236.向量数量积的性质及其应用角度一 与向量的夹角、垂直有关的问题【例 3】(1)E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，若(ABBC)(BCCD)0，则四边形 EFGH 是()A梯形B正方形C菱形D矩形(2)已知 a，b 是两个
13、非零向量若|a|3，|b|4，|ab|6，求 a 与 b 的夹角若|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角思路探究(1)根据向量加法的三角形法则变形，利用向量垂直的几何意义判断垂直关系(2)利用向量数量积的公式求解利用向量的几何意义求解(1)D 连接 AC，BD(图略)，则由题意可知 EFAC，GHAC，所以 EFGH.同理可得 EHFG，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又(ABBC)(BCCD)0，即ACBD 0，所以 ACBD，所以 EFGF，所以四边形 EFGH 为矩形(2)解 因为 ab|a|b|cosa，b，所以|ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b|6.又|a|3
14、，|b|4，所以|cosa，b|6|a|b|63412，所以 cosa，b12.因为a，b0，所以 a 与 b 的夹角为3或23.如图，在平面内取一点 O，作OA a，OB b，以OA，OB 为邻边作OACB，因为|a|b|，即|OA|O B|，所以四边形 OACB 为菱形，OC 平分AOB，这时OC ab，BAab，因为|a|b|ab|，即|OA|OB|BA|，所以AOB3，所以AOC6，即 a 与 ab 的夹角为6.将本例(2)条件“|a|b|ab|”改为“|ab|ab|2|a|”，求向量 ab与 ab 的夹角解 如图在以 a 和 b 为邻边的平行四边形 ABCD 中，因为|ab|ab|，
15、所以四边形 ABCD 为矩形 在 RtABD 中，|ab|2|a|，所以ABD6.所以 ab 和 ab 的夹角为23.求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意：在个别含有|a|，|b|与 ab 的等量关系式中常利用消元思想计算 cosa，b的值角度二 与向量的模有关的问题【例 4】已知 x1 是方程 x2|a|xab0 的根，且 a24，a 与 b 的夹角为120.求向量 b 的模解 因为 a24，所以|a|24，即|a|2，将 x1 代入原方程可得 121ab0，所以 ab3，所以 ab|a|b|cosa，b2|b|cos 1203，所以|b|3.求解向量模的问题要灵活应用 a2
16、|a|2，即|a|a2，勿忘记开方.跟进训练3已知非零向量 a，b 的夹角为 45，且|a|2，a22abb24，则|b|_.2 2 因为|a|2，a，b45，所以由 a22abb24 得|a|22|a|b|cos 45|b|24，即 42 2|b|b|24，解得|b|2 2或|b|0，因为 b 是非零向量，所以|b|2 2.1掌握 1 个重点向量数量积的求法求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键2记牢 3 个应用(1)两向量 a，b 垂直ab0；(2)向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|aa；(3)求向量 a，b 的夹角
17、 的思路求向量的夹角的关键是计算 ab 及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算 cos ab|a|b|，最后借助 0，求出 值3对投影的数量的三点诠释(1)ab 等于|a|与 b 在 a 方向上的投影的数量的乘积，也等于|b|与 a 在 b 方向上的投影的数量的乘积其中 a 在 b 方向上的投影的数量与 b 在 a 方向上的投影的数量是不同的(2)b 在 a 方向上的投影的数量为|b|cos (是 a 与 b 的夹角)，也可以写成ab|a|.(3)投影是一个向量，而投影的数量是一个数值，可为正，可为负，也可为零1已知平面向量|a|2，|b|3，a，b3，则 ab()A2 B3C6D
18、0B 因为|a|2，|b|3，a，b3，则 ab|a|b|cos 323123.2已知平面向量|a|1，|b|2，则 a2b2()A2B3C5D5C 因为|a|1，|b|2，所以 a2b2|a|2|b|25.3在等腰直角三角形 ABC 中，若 C90，AC 2，则BABC的值等于()A2B2C2 2D2 2B BABC|BA|BC|cos ABC2 2cos 452.4(一题两空)已知等腰直角三角形 ABC 中，D 是斜边 AB 的中点，则 CD 和AC 的夹角为_，CD 和AC的夹角为_45 135 等腰直角三角形 ABC 中，D 是斜边 AB 的中点，则 CDAB,CD和 AC 的夹角为 45，CD 和AC的夹角为 135.5已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120.(1)求 ab；(2)求 a 在 b 上的投影的数量解(1)ab|a|b|cos 54cos 12010.(2)a 在 b 上的投影的数量为|a|cos ab|b|104 52.
