1、南昌二中20202021学年度上学期期中考试高二数学(理)试卷命题人： 审题人：一、选择题(每小题5分,共12小题,共60分)1经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )ABCD2两条平行直线与间的距离等于（ ）ABCD3. 已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）ABCD或4. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）ABCD或5双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（ ）ABCD6. 设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）ABCD7与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）A一个圆上B一个椭圆上C双曲线的一支上D抛物线上8. 若过点的直线与抛物线有且
2、只有一个交点，则这样的直线共有( )条数.A. 0 B. 1 C. 2 D. 39. 直角坐标系中，双曲线的左焦点为，是右支上的动点，则的最小值是（ ）A8B9C10D1210. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆过点，则的值为（ ）ABCD1011.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则（ ）A当时，的面积为1B不存在使为直角三角形C存在使四边形面积最大D存在，使的周长最大12. 在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）A B C D二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分)13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
3、_.14. 设双曲线的左右焦点分别为,若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是_.15. 已知圆的方程为，直线：与圆交于，两点，则当面积最大时，直线的斜率=_.16. 直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为_.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题10分) 已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.（1）若与平行，求的值；（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.18. (本小题12分) 已知圆，直线.（1）判断直线与圆位置关系；（2）求直线被圆截得线段的最短长度及此时的方程
4、.19. (本小题12分)已知双曲线的焦点，渐近线方程为，直线过点且与双曲线有且只有一个公共点.（1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程.20. (本小题12分)已知椭圆的离心率，且椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，若，问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由21. (本小题12分)设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、
5、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.22. (本小题12分)已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.（1）求抛物线的方程；（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.高二数学(理)期中考试参考答案命题人： 审题人：1经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )ABCD【答案】C【解析】所求直线过点，故可设为， ，令，得，即，即所求直线的方程为.故选C.2两条平行直线与间的距离等于（ ）ABCD【答案】A【解析】直线方程可化为：，由平行直线间距离公式可知所求距离.故选：.3. 已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）ABCD或【答案
6、】D【解析】方程表示圆，则有,即k2k60，即（k3）（k+2）0可化为或，解得k3或k2，故选D4. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）ABCD或【答案】A【解析】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，所以，解得5已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为实轴长，所以，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，点到渐近线的距离，所以，所以C的方程为，故选：C.6. 设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】时，上存在点满足，设为椭圆短轴端点，当位
7、于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足则，解得；当椭圆的焦点在轴上时，同理可得；范围是.7. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）A一个圆上B一个椭圆上C双曲线的一支上D抛物线上【答案】C【解析】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为3依题意得，则，所以点的轨迹是双曲线的一支（除（1,0）故选C8. 若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有( )条数.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D9. 直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点为F，A（1，4），P是右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值是（ ）A8B9C10D12【答案】B【解析】
8、a2，b，c4，则F（-4,0），设右焦点G（4,0）.由双曲线的定义可知位于右支的点P有|PF|PG|4，|PF|+|PA|4+|PG|+|PA|4+|AG|44+59.故选：B10. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆过点，则的值为（ ）ABCD10【答案】A【解析】由抛物线方程为：，可得，可得焦点，设,由以为直径的圆过点，可得,可得,同时由，可得，同时由，可得B点坐标,可得，11.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则（ ）A当时，的面积为1B不存在使为直角三角形C存在使四边形面积最大D存在，使的周长最大【答案】C【解析】如图：对于A选项，经计算显然错误.
9、对于B选项，时，可以得出，当时，根据对称性，存在使为直角三角形.故B错误.对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确.对于D选项，的周长=；，当过点时取等号；即直线过椭圆的右焦点时的周长最大；此时直线；但，所以不存在，使的周长最大，故D错误.故选：C12. 在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【解析】点的坐标满足方程，在圆上，满足方程在圆上，则作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为与，由图可知，设两圆内公切线方程为，则，圆心在内公切线两侧，得，化为，即，的取值范围，故选B.13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值
10、范围是_【答案】【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，解得.14. 设双曲线的左右焦点分别为,若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】，又，所以，另外，因为双曲线离心率，所以.15. 已知圆的方程为，直线：与圆交于，两点，则当面积最大时，直线的斜率=_【答案】1或-7【解析】圆的标准方程为,直线可变形为,则圆心为,半径为2,直线过定点,由面积公式可得,所以当,即圆心到直线的距离为时,的面积取得最大值,所以,解得或16. 直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为_【答案】【解析】设，因为，三点的横
11、坐标依次成等差数列，所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，因为，在抛物线上，所以有，两式作差可得,所以,所以直线的方程为，即，由得：，所以，所以，故17. 已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.（1）若与平行，求的值；（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】（1）与平行，则，解得；（2）联立，解得，所以点，即.因此，点在直线上.18已知圆，直线.（1）判断直线与圆位置关系；（2）求直线被圆截得线段的最短长度及此时的方程.【答案】（2）弦长的最小值为，此时直线的方程为.【解析】（1）将直线的方程变形为，可得，解得，所以，直
12、线恒过定点，则点在圆内，不论取何值，直线与圆总相交；（2）设圆心到直线的距离为，设直线截圆所得弦长为，如下图所示：当直线与直线不垂直时，；当时，.所以，即当时，取得最大值，.直线的斜率为，由于，则直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.直线截圆所得弦长的最小值为.19. 已知双曲线的焦点，渐近线方程为，直线过点且与双曲线有且只有一个公共点.（1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程.【答案】（1）；（2），或【解析】（1）双曲线的焦点在轴上，设其方程为又.故双曲线的标准方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足题意.所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为.由得.当时，
13、即.若，方程无解；若，由方程得.此时直线方程为即.当时，由，得.此时直线方程为.综上，所求直线的方程为，或.20. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，若，问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，直线过定点【解析】（1）设椭圆的焦距为，由，即，有，又椭圆过点，解得椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，由，消去，整理可得，设，则由题意，可得，有，且（直线不过(1,0)点），即， 得，解得故直线过定点 21.设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.（1
14、）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由可得，可得，解得；（2）是点，关于顶点的对称点，可得，设过的直线为，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切可得，解得，可取，可得切线的倾斜角为，由抛物线的定义可得，而的最小值为，的最大值为；（3）由，可得，设，设，联立抛物线，可得，即有，由两直线垂直的条件，可将换为，可得，点满足，可得，即为， ，联立式消元可得，则的轨迹方程为22. 已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.（1）求抛物线的方程；（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，因此，抛物线的方程为设点、，设过点的圆的切线方程为，则，整理得，设两切线的斜率分别为、，则、是上述方程的两根，由韦达定理得，将方程代入抛物线的方程得，整理得，所以，线段中点的纵坐标为，函数在区间上为增函数，因此，线段的中点的纵坐标的取值范围是.18
