1、20202021学年度第二学期南昌市八一中学高二理科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则2正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）ABCD3有名男生、名女生排成一排，女生相邻且不排在两端的不同排法有 （ ）A种B种C种D种4下列说法正确的是（ ）A两个变量的相关关系一定是线性相关B两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于0C在回归直线方程0.2x0.8中，当变量x每增加1个单位时，预测变量平均增加1个单位D对分类变量X与Y，随机变量K2
2、的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大5疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（ ）(四舍五入保留整数)参考数据：，.A15B16C31D326已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（ ）ABCD7已知，则 （ ）ABCD8某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（ ）ABCD9把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次
3、所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ） A B C D10已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为ABCD （ ）11如图，在中，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）A0BCD12如图，在棱长为1的正方体中，分别为线段的中点，下述四个结论：直线共点；直线为异面直线；四面体的体积为；线段上存在一点使得直线平面.其中所有正确结论的序号为（ ）ABC D二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13已知向量，满足，向量，夹角为，且，则向量_14设随机变量 服从二项分布，则函数存在零点的概率是_.15已知随机变量的分布列如下表，表示的方
4、差，则_.16下列说法正确的是_ 方程（，其中为复数集）无解；若彼此相互独立，则；已知点，且为原点，则向量在向量上的投影的数量为；通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，可知过点；通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面
5、积.18（12分）随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，2019年我国人均预期寿命达到77岁.居民人均寿命提升健康状况改善，使得群众生产生活中驾车出行需求持续增长，呼吁进一步放宽学驾年龄，进一步方便就近体检.2020年10月22日，公安部新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车小型自动挡汽车轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限.为了了解70岁以上人群对考取小型汽车驾照新规的态度，某研究单位对某市的一个大型社区中70岁以上人员进行了随机走访调研，在48名男性人员中有36人持“积极响应”态度12人持“不积极响应”态度，在24名女性人员中持“积极响应”态度和“持不积极响应
6、态度”的各有12人.（1）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关？积极响应不积极响应合计男女合计（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).附：，.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819（12分）如图1，在平行四边形中，60，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起如图2所示，连接，（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值20 （12分）2020年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、
7、数学、英语成绩，已知其考试等级分为，现在对他们的成绩进行量化：级记为2分，级记为1分，级记为0分，用表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标的值评定该同学的得分等级：若，则得分等级为一级；若，则得分等级为二级；若，则得分等级为三级，得到如下结果：人员编号（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.21（12分）已知函数的一个极值点是（1）当时，求b的值，并求的单调增区间；（2）设，若，使得成立，求实数a的范围22（12分）
8、已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由.高二理科数学期末参考答案1. A 2A 3D 4D 5B 6B 7D 8D 9B 10A 11C 12D13 14 152 1617【详解】解：（1）由题意得：，消去，的极坐标方程为：，由得：即：的直角坐标方程为：.(5分）（2）由得：，由得：，.(10分）18【详解】解：（1）完成列联表，得：积极响应不积极响应合计男361248女121224合计482472.有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关.(6分）（
9、2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为，则的可能取值为0，1，2，的分布列为：012数学期望.(12分）19【详解】证明：（1）取的中点，连接，在平行四边形中，分别为，的中点，为正三角形，则，又，平面，平面；.(6分）（2），分别为，的中点，若，则，则三角形为直角三角形，则，以O为原点，以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，则，则，设平面的法向量为，则，即令，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，即，则二面角的正弦值是.(12分）20【解析】（1）设事件为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”.英语得分为1的有英语得分为2的有从10名同学中随机抽取两人的所
10、有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，所以英语得分相同的概率.(4分）（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：人员编号综合指标4461453543其中综合指标是一级的有，共7名，综合指标不是一级的有共3名.随机变量的所有可能取值为：1,2,3,4,5.，所以的分布列为：12345所以.(12分）21【详解】（1）当时，.(2分）.的一个极值点是，则，即，解得 .(4分）此时由解得，所以，的单调增区间为；.(6分）（2），是极值点，则，解得且，因为，因此由知在单调递增，在单调递减，则由题可得，解得，.(12分）22【详解】（1）由题意可得，点，代入椭圆方程，可得，又，解得，则椭圆的方程为，即；.(4分）（2）在轴上存在点，使是与无关的常数证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数，将直线的方程，代入椭圆方程，得；设，则，.(6分）由，可得，设常数为，则，整理得对任意的恒成立，即有，解得，.即在轴上存在点，使是与无关的常数.(12分）高二理科数学 第5页
