1、第2讲 函数的应用 专题二 函数与导数 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2014北京)已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，)解析 由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(1)6060，f(2)3120，f(4)64log24322120，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.C1 2 3 42.(2014江苏)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当x0,3)时，f(x)|x22x12|.若函数 y
2、f(x)a 在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_.解析 作出函数yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)12，1 2 3 4观察图象可得 0a12.答案(0，12)1 2 3 43.(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.解析 由题意得eb192，e22kb48，1 2 3 4e22k 4819214，e11
3、k12，x33时，ye33kb(e11k)3eb 1231921819224.答案 24 1 2 3 44.(2014湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平 均 车 长 l(单 位：米)的 值 有 关，其 公 式 为 F.76 000vv218v20l1 2 3 4(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；解析 当 l6.05 时，F76 000vv218v12176 000v121v 18 76 0002v121v 1876 00022181 900.当
4、且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.1 9001 2 3 4(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.解析 当 l5 时，F76 000vv218v10076 000v100v 1876 0002v100v 1876 00020182 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立,此时车流量最大为2 000 辆/时.比(1)中的最大车流量增加100 辆/时.100 考情考向分析 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的
5、最值问题.热点一 函数的零点热点分类突破 1.零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.例 1(1)函数 f(x)lg x1x的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,10)解析 f(2)lg 2120，f(2)f(3)0，故f(x)的零点在区间
6、(2,3)内.C(2)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零点依次为a，b，c，则()A.abcB.cbaC.cabD.bac 解析 由f(a)eaa0，得aea0；b是函数yln x和yx图象交点的横坐标，画图可知0b1；由h(x)ln c10知ce，所以abc.A 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.跟踪演练1(1)函数f
7、(x)x22x在xR上的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3 解析 注意到 f(1)f(0)12(1)0，因此函数f(x)在(1,0)上必有零点，又f(2)f(4)0，因此函数f(x)的零点个数是3，选D.D(2)已 知 定 义 在R上 的 函 数f(x)满 足：f(x)x22，x0，1，2x2，x1，0，且 f(x2)f(x)，g(x)2x5x2，则方程 f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A.5B.6C.7D.8 解析 由题意知 g(x)2x5x2 2x21x22 1x2，函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：由图形可知函数f(x)
8、，g(x)在区间5,1上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t(0t1)，则点A的横坐标为4t，所以方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为3(4t)t7.答案 C 热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.例 2 (1)对 任 意实 数 a，b 定 义 运算“”：a b b，ab1，a，ab1.设 f(x)(x21)(4x)，若函数 yf(x)k的图象与 x 轴恰有三个不同交点，则 k 的取值范围是()A.(2,1)B.0,1 C.2,0)D.2,1)解
9、析 解不等式x21(4x)1，得x2或x3，所以，f(x)x4，x，23，x21，x2，3.函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点 答案 D 如图，所以1k2，故2k1.(2)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_.解析 f(x)ex2，当x(，ln 2)时，f(x)0，所以f(x)minf(ln 2)22ln 2a.由于 f(a2)0，所以 f(x)有零点当且仅当 22ln 2a0，2ea所以a2ln 22.(，2ln 22 思维升华(1)f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；(2)关于x
10、的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域.跟踪演练2(1)若函数f(x)mlog2x(x1)存在零点，则实数m的取值范围是()A.(，0B.0，)C.(，0)D.(0，)解析 mlog2x(x1)存在零点，则m的范围即为函数ylog2x(x1)的值域，m0.A(2)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.解析 将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解.由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.则当0b2时，两函数图
11、象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.答案(0,2)热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.例 3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10万元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入
12、为 R(x)万元，且 R(x)10.8 130 x2 010.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解 当010时，WxR(x)(102.7x)981 0003x 2.7x.W8.1xx33010 010.(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)解 当 00；当x(9,10)时，W10时，W981 0003x 2.7x 9821 0003x 2.7x38，当且仅当1 0003x 2.7x，即 x1009 时，W38，故当 x1009 时，W 取最大值 38.综合知：当x9时，W取最大值38.6万元，故当年产
13、量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.跟踪演练3(1)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元 解析 设该公司的年收入为x万元(x280)，则有280p%x280p2%x(
14、p0.25)%，解得 x320.故该公司的年收入为320万元.答案 D(2)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为_元.解析 设每辆车的月租金为x(x3 000)元，则 租 赁 公 司 月 收 益 为 y (100 x3 00050)(x 150)x3 0005050，整理得 yx250162x21 000 150(x4 050)2307 050.当x4 050时，y取最大值为307
15、050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元.答案 4 050 高考押题精练 1 2 3 41.f(x)2sin xx1的零点个数为()A.4B.5 C.6D.7 押题依据 函数的零点是高考的热点，利用函数图象求零点个数是一种常用方法.1 2 3 4解析 令2sin xx10，则2sin xx1，令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.h(x)2sin x 的最小正周期为 T2 2，画出两个函数的图象，如图所示，1 2 3 4因为 h(1)g(1)，h(52)g(
16、52)，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.答案 B 1 2 3 42.已知函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0，若函数 g(x)f(x)m有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_.押题依据 利用函数零点个数求参数范围，很好地体现了数形结合思想，同时分段函数也是高考的重要考点.1 2 3 4解析 画出 f(x)2x1，x0，x22x，x0 的图象，如图.由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1).答案(0,1)1 2 3 43.已知函数f(x)5xx2，g(x)log5xx2的零点分别为x
17、1，x2，则x1x2的值为_.押题依据 函数的零点是高考必考查的知识点，已知两函数的解析式，求两函数零点的和或取值范围等，此类命题角度新颖，将成为高考命题的热点，应给予关注.1 2 3 4解析 令f(x)0，g(x)0，得5xx2，log5xx2.作出函数y5x，ylog5x，yx2的图象，如图所示，因为函数f(x)5xx2，g(x)log5xx2的零点分别为x1，x2，所以x1是函数y5x的图象与直线yx2交点A的横坐标，x2是函数ylog5x的图象与直线yx2交点B的横坐标.1 2 3 4因为y5x与ylog5x的图象关于yx对称，直线yx2也关于yx对称，且直线yx2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于yx对称.又线段AB的中点是yx与yx2的交点，即(1,1)，所以x1x22.答案 2 1 2 3 44.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点.1 2 3 4解析 如图，过A作AHBC交于点H，交DE于点F，易知DEBC x40ADABAFAHAFxFH40 x，则 Sx(40 x)(402)2，当且仅当40 xx，即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.答案 20 谢谢观看 更多精彩内容请登录：
