1、湖北省宜昌市第一中学2015届高三5月第三次模拟考试数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目的要求。1已知是虚数单位，复数，是的共轭复数，则的虚部为A2 B 2 C4D2已知集合,，命题p：；命题q：，则下列命题中为真命题的是Apq Bpq Cpq Dpq3 函数在点处的切线方程是AB CD4下列四个结论：“”是“”的充分不必要条件;已知幂函数的图象经过点，则的值等于；某学校有男、女学生各500名为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样;设某
2、大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg其中正确的结论个数是A1 B2 C3 D45如图1，已知正方体ABCDA1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于正视方向图1图2A. B. C. D. 6.已知,则的展开式中的常数项为A. B. C. D. 7如图，在程序框图中输入n=14，按程序运行后输出的结果是A0 B2 C3 D48若数列满足，,为非零常数，则称数列为“梦想数列”已知正项数列为“梦想
3、数列”，且，则的最小值是A2B4C6D89已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 10定义在上的函数；当时，若，；则P，Q，R的大小关系为A. RPQ B. RQP C. PRQ D. QPR二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一） 必考题（11-14题）11已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且，则的最小值是 . 12已知a，b，c为ABC的三内角A，B，C的对边，向量，
4、若，且，则角的大小为 13在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z xay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是 .14 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“”：已知和， ，当且仅当“”或“且”.定义两点的“”与“”运算如下： .则下面四个命题：已知和，则；已知和，若，则，且；已知，则；已知，则对任意的点，都有； 已知，则对任意的点，都有.其中真命题的序号为 （把真命题的序号全部写出）. 第15题图（二） 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2
5、B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15. （选修4-1：几何证明选讲）如图，点A、B、C都在O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB6，BC3，CD4，则线段AC的长为_16. （选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程为，的极坐标方程为，则和的公共点的坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）在锐角三角形中，分别为角的对边，且满足.（）求的值；（）若，设角的大小为，的周长为，求函数的单调区间及函数最大值.AOAByCarDeBDOar18（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩
6、形，且，若为的中点，且（）求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得二面角 大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由19（本小题满分12分）某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人成本为3.2万元.根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.（）若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益
7、； （）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.20（本小题满分12分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（）求a1； （）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由.21（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任意一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（）若直线，互相垂直，求圆的方程；（）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；（）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由22（本小题满分14分）已知
8、函数（其中为常数）.()当时，求函数的单调区间；()当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；()当时，设函数的3个极值点为，且.求证：.绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试试题（模拟）数学（理工类）参考答案本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟一、选择题：题号12345678910A卷ACBCBDCBCAB卷CBADCDABBA二、 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。11 12 13 14 15. （选修4-1：几何证明
9、选讲） 6 16. （选修4-4：坐标系与参数方程） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17解：（）在中，由及余弦定理得2分而，则5分 （）由及正弦定理得，6分 而，则.8分 于是，.10分当时,的单调递增区间,单调递减区间,12分18（）证明：，且，2分.3分又，且，平面5分（）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则，6分zOxyAByCarDeBADOarPar设，平面的法向量为=，且取，得=8分又平面,且平面,平面平面.又,且平面平面平面.不妨设平面的法向量为=10分由题意得，11分解得或（舍去）当的长为时，二面角的值为12
10、分19解：()设茶厂14日当天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6，3，1.51分4分所以的分布列为631.5 5分所以的数学期望为，即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元. 6分()茶厂若采用方案，设茶厂第二天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3，因为，7分所以的分布列为38分所以的数学期望为， 9分所以茶厂若采用方案则其采茶总收益为， 茶厂若采用方案则其采茶总收益为， 11分因为14.6414.8，所以茶厂应该采用方案收益高，风险小，和谐社会，提供就业岗位. 12分20解：（1）令n=1，则a1=S1=0 .2分（2）由，即， 得 ，得 于是， +，得，即又a1=0，a2=1
11、，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 .6分（3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 时，0，故数列( )为递减数列，时，0，故数列()为递减数列，即时，又当时，故无正整数q使得成立.12分解法2：同上有，且数列( )为递减数列，当时，成立；当时，因此，由得，此时.12分【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性本例蕴含分类讨论思想21解：（）由圆的方程知，圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，又点在椭圆上，所以， 联立，解得所以所求圆的
12、方程为4分（）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得同理，所以是方程的两个不相等的实数根，有韦达定理得，因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即 8分（）方法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即因为在椭圆C上，所以， 即， 所以，整理得，所以， 所以13分方法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得所以，同理，得，由，10分所以 11分（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，12分综上： .13分22解：()，令可得，易得单调减区间为，增区间为.3分（）当时，由，可得恒成立，令，则，。（）当时，恒成立，所以在上是增函数，所以当时，满足题意，则。（）当时，令解得。当时，在上是减函数当时，不合题意，舍去。综上可得实数的取值范围。7分()由已知，对于函数，有,所以函数在上递减，在上递增。因为有3个极值点。从而所以。当时， 函数的递增区间有和，递减区间有，此时，函数有3个极值点，且；当时，是函数的两个零点，即有，消去有。令，则有零点，且。所以函数在上递减，在递增。要证明：，又因为，所以即证，构造函数，因为，只需证明单调递减即可。而，又。所以在上单调递增，所以 ， 当时，。14分
