1、参赛教案基本信息课题1.3.2正弦函数、余弦函数的图象1.整体设计思路、指导依据说明首先复习正弦函数的定义和正弦线，为后面利用正弦线作图做好铺垫。用描点法画正弦函数图像，描点过程中通过学生动手作图，体会描点的困难不精确，迫切寻找更精确的方法；追本溯源回到定义，通过教师的圆盘演示，体会几何上利用正弦线平移和圆盘在x轴上滚动化曲为直精确描出横纵坐标的方法，引起动手尝试的欲望，通过动手实验，亲身体会这一过程，加深对几何法作图的理解；接着观察几何画板操作演示图象，再次体会这一方法的精确性和任意性；学生根据正弦线周而复始的变化规律，得出完整的正弦曲线；观察图像的关键点得出正弦函数作图的“五点法”；引导学
2、生利用诱导公式，通过图像变换得到余弦曲线和余弦函数在的“五点法”作图；关注和其他领域的联系，通过物理实验视频的播放体会这一点，引发学生的思考和拓展学生的思维；最后，学生通过课堂小结体会探究的过程中蕴含的思想和方法。2.教学背景分析教学内容分析：本节课是在学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数线，及相关运算性质等知识基础上进行学习的，正弦、余弦函数和数学（必修）中指数函数、对数函数、幂函数的研究思路相同，都是由常量到变量，静态到动态的研究思路。由定义及相关运算性质到图像，由图像再到性质；所不同的是正余弦函数是由单位圆定义的，有几何的表示，并且取值出现很多无理数，使得它的图象探究方法和以往有所
3、不同，这一探究过程让学生体会定义是根本，一切的方法都源于定义，这种作图方法还有助于培养学生的数形结合思想，逻辑推理的数学素养，为后面利用图象研究性质做好了铺垫。所以说本节课的内容起到了承上启下的作用学生情况分析：在前面的课程学习中，学生已经有了定义及运算性质等相关知识的储备，为研究三角函数的图象做好了准备工作.但由于正弦函数、余弦函数利用描点法作图时遇到描点不精确的困难，学生很难想到利用正弦线作图，需要老师的引导和给出足够的时间让学生体会。3.教学目标分析1利用正弦线作图象培养学生的逻辑推理的数学素养；2通过小组合作画图，直观感知正弦函数变化规律，积累数学活动经验；3通过观察发现确定函数图象形
4、状的关键点，掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图，培养学生的数学抽象的素养.4.教学重点、难点分析 教学重点：利用正弦线作正弦函数的图象及五点法画正弦函数、余弦函数的简图 教学难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；单位圆弧长与横坐标的对应关系；正弦函数与余弦函数图象间的关系。5.教学过程设计与教学资源设计步骤1：复习引入我们已经学习了任意角、弧度制、三角函数的定义、诱导公式等内容，那么三角函数具体的变化规律是怎样的呢？它又有哪些性质呢？有了前面这些知识做铺垫，我们今天就来一一解决这些谜团，凭经验，我们最先想知道什么？今天我们开始来研究正弦函数、余弦函数图象。（板书课题）我们
5、先来回顾一下定义，大家还记得么？我们共同来回忆一下。结合单位圆，在弧度制下，角和实数的集合是一一对应的，正弦函数中，自变量x就是角的弧度数，y就是点的纵坐标，也就是正弦线MP。大家再观察一下这段弧长PA和角的弧度数什么关系？由弧长公式，我们知道，单位圆中，角的弧度数和弧长是相等的。（板书图，看图叙述，强调相等关系）言归正传，我们下面开始画图，一般用什么方法？设计意图：通过复习单位圆定义正弦函数，为后面学习做好铺垫。步骤2：正弦函数图象方案一：描点法 问题1你想取什么样的点啊？追问：仅凭这几个点能描绘出图象么？还有么？师生活动：学生畅所欲言，教师引导学生说出四个象限的角，并且根据同终边的角三角函
6、数值相等将所取角锁定在师：接下来同学们尝试描点作出在上的大致图象师生活动：学生作图，教师展示学生成果，予以点评。问题2：我们作的图有问题么，准确么？追问：x,y都是无理数，只能取近似值，遗憾！真想得到准确的点，勾勒出准确的正弦图象啊，怎么办呢？设计意图：引导学生从数的角度描点作图，让学生发现描点法的弊端，引出几何法作图。方案二：几何法问题3：再观察图，从形上，横纵坐标怎么刻画的？有没有准确的横纵坐标？师生活动：教师引导从形上，利用正弦线准确标出点的纵坐标，利用圆盘实现化曲为直，将弧长度量出来，准确标在x轴上；学生通过观察思考体会这一方法描点准确性和任意性；再通过动手实验，亲手利用这一方法画出图
7、象。师：我们描的再多，也是有限的，那么大家看屏幕，上所有的点完美呈现。师生活动：教师几何画板演示，学生观察思考小结：再回顾这个过程，体会一下其中的深意，利用正弦线平移和圆滚动化曲为直得到 0, 2的清晰准确的正弦图象。设计意图：利用问题串引导学生不断得出利用正弦线描点的方法，体会这一方法的精确性，及培养逻辑推理的数学素养。问题4：正弦函数图象画完了么？师生活动：教师启发学生通过平移表示曲线变化规律，再通过几何画板展示正弦曲线。师：至此，正弦函数图象的神秘面纱揭开了，完美的呈现了，欣赏一下，多么优美的一条波浪线啊设计意图：先让学生从直观感知定义域上的正弦函数图象，再用诱导公式一给出理论解释。方案
8、三：用“五点法”作正弦函数的简图师：好了，我们现在心中有形了，再画它的图是不是能简化一下啊？只要作出可以。问题5：还能不能再简化啊？就像二次函数抓关键点画图一样，你觉得哪几个点是关键点？师生活动：教师启发学生说出五点坐标，最高点，最低点，与x轴的交点。五个点都间隔，同时几何画板演示。师：这就是我们下面要介绍的，五点法做简图，我们一起来操作这个过程。练习1：用五点法作出函数y= sinx，x0, 2p 的简图师生活动：学生说出五点，同时教师板书画出正弦函数在内的简图；强调取点过程中需要注意的地方；学生再自己操作完成简图。设计意图：通过教师引导，学生掌握五点法作正弦函数图象的操作步骤。步骤三：余弦
9、函数图象师：我们今天还没完成课题呢，有了前面经验，一样可以画出余弦曲线。问题6：正余弦函数的关系那么密切，我们能不能利用他们关系得到余弦曲线，你有办法么？师生活动：学生说出想法，教师予以肯定。追问：真不错，大家这么多想法，我还想走走捷径，怎么最直接实现正弦化余弦？哪个诱导公式可以实现这一点？师生活动：学生回答，同时教师几何画板演示诱导公式和变换的过程。师：一次图像变换，实现我们心愿。观察一下，正余弦曲线都是优美的波浪线，只是在坐标系里位置不同罢了。问题7：我们还是研究内的图象，如果还想画简图，描哪几个点呢？师生活动：教师几何画板演示余弦函数在的五个关键点，学生自主完成作图，请一同学板演。备选例
10、题例1:（1）用“五点法”作函数，上的简图；（2）用“五点法”作函数，上的简图.设计意图：通过问题和追问，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想.步骤四：物理实验，拓展知识师：实际上，我们的现实生活中很多问题都是用正余弦型曲线来刻画的，大到我们的地球自转引起的昼夜交替变化，公转引起的四季交替变化，还有潮汐、月亮圆缺变化的周期性等等，小到我们单摆、弹簧振子的运动这样的简谐振动中的变化规律，都是由正余弦型曲线来刻画的，口说为虚，眼见为实，大家看（播放视频）。步骤五：课堂小结，总结梳理问题8：我们回顾这节课探究的过程
11、，你有哪些收获呢？师生活动：学生小结，教师予以肯定。师：一切源于定义，从我们熟悉的点入手描点，由于不精确，再一次追问定义，从形的角度用几何法精确的描点，得出了内的精确图象，通过平移完成了正弦曲线的图象，再抽象出五点简化图像。利用诱导公式实现正弦化余弦，巧妙快捷的得到余弦曲线，类比正弦函数五点法得出余弦函数五点法。最后通过物理实验，体会正余弦型曲线是刻画简谐振动变化规律的数学模型。得到正余弦函数图象后，我们对两函数的变化规律有了进一步的认识，后面我们就可以根据图象研究性质了，希望今天这节课探究的过程能让大家都有收获，利用今天学习到的探究方法，得到更多的数学知识。设计意图：学生归纳小结，加深认识，得到后续研究的思路。6.学习效果评价设计课后为了检验学生的学习效果，我设计了让学生自主探究余弦函数图像的其他方法尤其是利用余弦线画图的方法，组织学生分小组利用几何画板作图探究并展示。同时，设计了习题检验跟据图像探究函数性质的能力。7.教学设计特色说明与教学反思 学生总惧怕数学，觉得太难，认为数学课枯燥，课标中强调要增加数学活动，动手实验，常常也是作为口号，真正课堂中，我们很难找到合适的时机和内容，但是只要我们能善于去思考和发现，增加一些小组活动和动手实验，一定能让数学课堂变得鲜活起来，本节课看似枯燥难以理解，学生们将圆片滚动起来的那一刻，一切就迎刃而解，三角函数的图象跃然于纸上。
