1、星期六(解答题综合练)2016年_月_日1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2，C60.(1)求的值；(2)若abab，求ABC的面积解(1)由正弦定理可设，所以asin A，bsin B，所以.(2)由余弦定理得c2a2b22abcos C，即4a2b2ab(ab)23ab，又abab，所以(ab)23ab40.解得ab4或ab1(舍去)所以SABCabsin C4.2.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EFBD，ABEF.(1)求证：BF平面ACE；(2)求证：BFBD.证明(1)设AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BOAB，又因为ABE
2、F，BOEF，又因为EFBD，EFBO是平行四边形，BFEO，又BF平面ACE，EO平面ACE，BF平面ACE.(2)正方形ABCD中，ACBD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD平面ABCD，平面ABCD平面ACEAC，BD平面ACE，EO平面ACE，BDEO，EOBF，BFBD.3.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是一个ABBDl，B的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A，B重合)，且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿DCA运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运
3、行速度为3v，为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中DCB的大小(1)当变化时，试将货物运行的时间t表示成的函数(用含有v和l的式子)；(2)当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？解(1)在BCD中，BCD，B，BDl，BC，CD，ACABBCl，则t.(2)t.令m()，则m()，令m()0得cos .设cos 0，0，则时，m()0；时，m()0，当cos 时，m()有最小值2，此时BCl.答：当BCl时货物运行时间最短4.如图，已知椭圆C：y21，A、B是四条直线x2，y1所围成矩形的两个顶点(1)设P是椭圆C上任意一点，若mn，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出
4、定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由(1)证明易求A(2，1)，B(2，1)设P(x0，y0)，则y1.由mn，得所以(mn)21，即m2n2.故点Q(m，n)在定圆x2y2上(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kOAkOB.平方得xx16yy(4x)(4x)，即xx4.因为直线MN的方程为(x2x1)y(y2y1)xx1y2x2y10，所以O到直线MN的距离为d，所以OMN的面积SMNd|x1y2x2y1| 1.故OMN的面积为定值1.5已知函数f(x)x22ax1(aR)，f
5、(x)是f(x)的导函数(1)若x2，1，不等式f(x)f(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)|f(x)|；(3)设函数g(x)，求g(x)在x2，4时的最小值解(1)因为f(x)f(x)，所以x22x12a(1x)，又因为2x1，所以a在x2，1时恒成立，因为，所以a.(2)因为f(x)|f(x)|，所以x22ax12|xa|，所以(xa)22|xa|1a20，则|xa|1a或|xa|1a.当a1时，|xa|1a，所以x1或x12a；当1a1时，|xa|1a或|xa|1a，所以x1或x12a或x(12a)；当a1时，|xa|1a，所以x1或x(12a)(3)因为f(x)
6、f(x)(x1)x(12a)，g(x)若a，则x2，4时，f(x)f(x)，所以g(x)f(x)2x2a，从而g(x)的最小值为g(2)2a4；若a，则x2，4时，f(x)f(x)，所以g(x)f(x)x22ax1，当2a时，g(x)的最小值为g(2)4a5，当4a2时，g(x)的最小值为g(a)1a2，当a4时，g(x)的最小值为g(4)8a17.若a，则x2，4时，g(x)当x2，12a)时，g(x)最小值为g(2)4a5；当x12a，4时，g(x)最小值为g(12a)22a.因为a，(4a5)(22a)6a30，所以g(x)最小值为4a5，综上所述，g(x)min6已知a，b是不相等的正
7、数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am和m个正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列(1)若m5，求的值；(2)若ba(N*，2)，如果存在n(nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；(3)求证：anbn(nN*，nm)(1)解设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，q.a3a3d，b3aq3.因为，所以2a52b0，解得4或.(2)解因为aa(m1)d，所以da，从而得anaan.因为aaqm1，所以q，从而得bna.因为an5bn，所以aaa.因为a0，所以1(*)因为，m，nN*，所以1为有理数要使(
8、*)成立，则必须为有理数因为nm，所以nm1.若2，则为无理数，不满足条件同理，3不满足条件当4时，42.要使2为有理数，则必须为整数又因为nm，所以仅有2nm1满足条件所以12，从而解得n15，m29.综上，的最小值为4，此时m为29.(3)证明法一设等比数列a，b1，b2，bm，b设为cn，且cn0，Sn为数列cn的前n项的和先证：若cn为递增数列，则为递增数列证明：当nN*时，cn1.因为Sn1Sncn1SnSn，所以，即数列为递增数列同理可证，若cn为递减数列，则为递减数列当ba时，q1.当nN*，nm时，.即，即.因为baqm1，bnaqn，d，所以d，即andbn，即anbn.当b
9、a时，0q1.当nN*，nm时，.即.因为0q1，所以.以下同.综上，anbn(nN*，nm)法二设等差数列a，a1，a2，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，bm，b的公比为q，ba(0，1)由题意得da，qa，所以anandaan，bna.要证anbn(nN*，nm)，只要证1n0(0，1，nN*，nm)构造函数f(x)1x(0，1，0xm1)，则f(x)ln .令f(x)0，解得x0(m1)log.以下证明0log 1.不妨设1，即证明1，即证明ln 10，ln 10.设g()ln 1，h()ln 1(1)，则g()10，h()ln 0，所以函数g()ln 1(1)为减函数，函数h()ln 1(1)为增函数所以g()g(1)0，h()h(1)0.所以1，从而0log1，所以0x0m1.因为在(0，x0)上f(x)0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m1)上f(x)0，函数f(x)在(x0，m1)上是减函数；所以f(x)minf(0)，f(m1)0.所以anbn(nN*，nm)同理，当01时，anbn(nN*，nm)
