1、湖北省宜昌二中2015届高三上学期1月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是( )A1BiC1Di考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，bR）的形式，即可得到复数的虚部解答：解：=i复数的虚部是：1故选A点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，考查计算能力，注意复数的虚部是实数2在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：采用随机抽样法，将零件编号为00，01
2、，02，99，抽出20个；采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个则( )A采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同B两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，并非如此C两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，并非如此D不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是考点：分层抽样方法；系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据抽样的定义分别进行判断即可解答：解：根据抽样的定义可知不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
3、，故选：D点评：本题主要考查抽样的定义，比较基础3把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )ABCD考点：正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选A点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视一般地，y=Asin（x+）的图象有无数条对称轴
4、，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值4执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数P的最小值是( )A7B8C15D16考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟程序框图的运行过程，可以得出输入的整数P的最小值是多少解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下：n=1，S=0，0P，是，S=0+211=1；n=1+1=2，S=1，1P，是，S=1+221=3；n=2+1=3，S=3，3P，是，S=3+231=7；n=3+1=4，S=7，7P，是，S=7+241=15；n=4+1=5，S=15，15P，否，输出n=5整数P的最小值是8故选：B点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模
5、拟程序框图的运行过程，即可得出所求问题的结论，是基础题5函数的y=f（x）图象如图1所示，则函数y=的图象大致是( )ABCD考点：对数函数的图像与性质 专题：综合题分析：本题考查的知识点是对数函数的性质，及复合函数单调性的确定，由对数函数的性质得，外函数y=log0.5u的底数00.51，故在其定义域上为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，不难给出复合函数的单调性，然后对答案逐一进行分析即可解答：解：0.5（0，1），log0.5x是减函数而f（x）在（0，1上是减函数，在1，2）上是增函数，故log0.5f（x）在（0，1上是增函数，而在1，2）上是减函数分析四个图象，只有C答案
6、符合要求故选C点评：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则：“同增”的意思是：g（x），h（x）在定义域是同增函数或者都是减函数时，f（x）是增函数；“异减”的意思是：g（x），h（x）在定义域是一个增函数另一个减函数的时候，f（x）是减函数6已知函数 f（x）=ax+xb的零点xb（n，n+1）（nZ），其中常数a，b满足2a=3，3b=2，则n的值是( )A2B1C0D1考点：函数的零点 专题：计算题分析：根据2a=3，3b=2和指数式与对数的互化，求得a=log23，b=log32，代入函数得f（x）=（log23）x+xlog32是增函数，然后根据函数的单调性和零点的性质进行求解解答：
7、解：2a=3，3b=2，a=log23，b=log32，函数f（x）=（log23）x+xlog32，且函数是R上的增函数，而f（1）=10，f（0）=1log320，函数f（x）=（log23）x+xlog32在（1，0）内有一个零点，故n=1，故选B点评：本题主要考查了函数零点的判定定理以及指数与对数的互化，函数 f（x）=（log23）x+xlog32是增函数，单调函数最多只有一个零点，是解题的关键，属中档题7若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) ABCD考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体
8、的结构特征是什么，求出球的表面积即可解答：解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=所以球半径R2=所以该球的表面积S=4R2=，故选B点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目8给出以下四个命题：“x1”是“|x|1”的充分不必要条件若命题p：“xR，使得x2+x+10”，则p：“xR，均有x2+x+10”如果实数x，y满足，则z=|x+2y4|的最大值为21在ABC中，若=，则tanA：tanB：tanC=3：2：1其中真命题的个数为( )A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：简
9、易逻辑分析：由|x|1解得x1或x1，即可判断出；利用命题的否定定义即可得出；如果实数x，y满足，画出函数图象，如图所示，y=，利用线性规划有关知识即可得出；在ABC中，若=，则=，由正弦定理可得，即可得出tanA：tanB：tanC=6：2：3解答：解：由|x|1解得x1或x1，“x1”是“|x|1”的充分不必要条件，正确；若命题p：“xR，使得x2+x+10”，则p：“xR，均有x2+x+10”，正确；如果实数x，y满足，如图所示，y=，当且仅当此直线过点C（3，1）时则z=|x+2y4|的最大值为9，因此不正确在ABC中，若=，则=，由正弦定理可得，tanA：tanB：tanC=6：2：
10、3，因此不正确其中真命题的个数为2故选：B点评：本题考查了简易逻辑的判定、线性规划有关知识、正弦定理、数量积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知抛物线x2=2py（p0）与双曲线=1（a0，b0）有相同的焦点F，点B是两曲线的一个交点，且BFy轴，若L为双曲线的一条渐近线，则L的倾斜角所在的区间可能是( )A（，）B（，）C（，）D（，）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据点B在抛物线上，求得B的坐标表达式，根据点B在双曲线上，表示出点B的坐标表达式，进而可推断出2c=，由a，b，c的关系和离心率公式，求得e，最后通过，求得l的
11、斜率的取值，进而得到倾斜角的范围解答：解：点B在抛物线x2=2py上，可设B（p，），点B在双曲线上，即B（，c），所以有2c=p=，则有c2a2=2ac，即有e22e1=0，解得e=1+l的斜率=，则l的倾斜角范围为（0，），或（，）故选D点评：本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本的运算能力10数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，an2成等差数列设数列bn的前n项和为Tn，且bn=，则对任意实数x（1，e（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，Tn( )A1B2C3D4考点：数列的求和 分析：对任意实数x（1，e和任意正整数
12、n，总有bn=，然后用放缩法能够导出Tn2解答：解：对任意实数x（1，e和任意正整数n，总有bn=，Tn+1+=1+1+=22故选B点评：本题考查数列的应用，解题时要注意放绾法的合理运用二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分11设等差数列an的前n项和为Sn，若=1，则公差为6考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，由已知式子和求和公式易得d的方程，解方程可得解答：解：设等差数列an的公差为d，=1，=1，化简可得d=6，故答案为：6点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题12展开式中含x2项的系数是192考点：二项式系数的性质；定积分 专题
13、：计算题分析：先利用微积分基本定理求出a；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为2，求出r，将r的值代入通项求出展开式中含x2项的系数解答：解：a=0（sinx+cosx）dx=（cosx+sinx）|0=2所以=的展开式为：Tr+1=（1）r26rC6rx3r令3r=2得r=1，所以展开式中含x2项的系数是25C61=192，故答案为：192点评：本题考查求二项展开式的特定项问题时：例如某一项的系数，某一项等常考虑利用二项展开式的通项公式13已知随机变量XN（2，2），若P（Xa）=0.26，那么P（aX4a）=0.48考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题
14、分析：根据随机变量X服从正态分布N（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（Xa）=p（X4a），且P（aX4a）=12p（Xa），得到结果解答：解：随机变量X服从正态分布N（2，2），=2，正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，p（Xa）=p（X4a），且P（aX4a）=12p（Xa），P（aX4a）=120.26=0.48故答案为：0.48点评：本题考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布14设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x）
15、，则=考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值 专题：计算题分析：由题意得 =f（ ）=f（），代入已知条件进行运算解答：解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1 ）=，故答案为：点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值【坐标系与参数方程选做题】15在极坐标系中，圆=4cos的圆心到直线sin（+）=2的距离为考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式 专题：计算题分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，将极坐标方程为=4cos和化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的
16、形式，结合点到直线的距离公式求解即得解答：解：由=4cos，化为直角坐标方程为x2+y24x=0，其圆心是A（2，0），由得：，化为直角坐标方程为x+y4=0，由点到直线的距离公式，得故答案为：点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题【不等式选做题】16不等式|x23x|4的解集是x|x1，或x4考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解解答：解：|x23x|4x23x4 或x23x4由x23x4解得x1或x4，x23x4无解不等式|x23x|4的解集是 x|x1
17、或x4故应填x|x1或x4点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化三解答题：本大题共6小题，共75分其中（16）（19）每小题12分，题13分，（21）题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17将编号为1，2，3的三个小球随意放入编号为1，2，3的三个纸箱中，每个纸箱内有且只有一个小球，称此为一轮“放球”，设一轮“放球”后编号为i（i=1，2，3）的纸箱放入的小球编号为ai，定义吻合度误差为=|1a1|+|2a2|+|3a3|假设a1，a2，a3等可能地为1、2、3的各种排列，求：（1）某人一轮“放球”满足=2时的概率（2）的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差
18、；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）列表求出的所有可能结果，由此能求出P（=2）=（2）由（1）知的可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E解答：解：（1）的所有可能结果如下：纸箱编号123的取值 小球号123013222132231431243214P（=2）=（2）由（1）知的可能取值为0，2，4，P（=0）=，P（=2）=，P（=4）=，的分布列为：024PE=0+2+4=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一18ABC的三个角A，B，
19、C所对的边分别是a，b，c，向量=（2，1），=（sinBsinC，+2cosBcosC），且（1）求角A的大小（2）现给出以下三个条件：B=45；2sinC（+1）sinB=0；a=2试从中再选择两个条件以确定ABC，并求出所确定的ABC的面积考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理 专题：三角函数的求值；平面向量及应用分析：（1）由，可得=0，化为cosA=，即可得出（2）选择，或选择，利用正弦定理与余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出选择，不能确定三角形解答：解：（1），=2sinBsinC2cosBcosC=0，cos（B+C）=，cosA=，又0A180，A=
20、30（2）选择，A30，B=45，C=105，a=2且sin105=sin（45+60）=，c=+，SABC=acsinB=+1选，A=30，a=2，2sinC=（+1）sinB2c=（+1）b，由余弦定理：a2=4=b2+（b）22bbb2=8 b=2c=b=+，SABC=+1选，不能确定三角形点评：本题考查了向量的数量积运算性质、两角和差的正弦余弦公式、正弦定理与余弦定理、诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知数列an满足：Sn=1an（nN*），其中Sn为数列an的前n项和（）试求an的通项公式；（）若数列bn满足：bn=，试求bn的前n项和公式Tn；
21、（III）设cn=，数列cn的前n项和为Pn，求证：Pn2n考点：数列与不等式的综合 专题：综合题；压轴题分析：（）由Sn=1an知Sn+1=1an+1，故an=1=an（nN*），由此能导出an的通项公式（）bn=n2n，（nN*），所以Tn=12+222+323+n2n，再由错位相减法能导出Tn=（n1）2n+1=2，（nN*）（III）由cn=+=+=1+1+=2（），能导出Pn2n（+）=2n=2n+2n，（nN*）解答：解：（）Sn=1anSn+1=1an+1an+1=an+1+anan=1=an（nN*）又n=1时，a1=1a1a1=，an=（nN*）（）bn=n2n，（nN*）T
22、n=12+222+323+n2n2Tn=122+223+324+n2n+1得Tn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1整理得：Tn=（n1）2n+1=2，（nN*）（III）cn=+=+=1+1+=2（）又=Pn2n（+）=2n=2n+2n，（nN*）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用20如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF=1（）求证：BC平面ACFE；（）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围考点：用空间向量
23、求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：计算题；证明题分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，AB=2AC2=AB2+BC22ABBCcos60=3AB2=AC2+BC2BCAC平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCD=AC，
24、BC平面ABCDBC平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（，0，1）设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，是平面FCB的一个法向量当=0时，cos有最小值，当时，cos有最大值点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法21已知椭圆C：=1（ab0），直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，F1PF2的重心为G，内心为
25、I，且IGF1F2（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l过定点Q（，0），求实数k的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用F1PF2的重心为G，内心为I，结合三角形的面积公式，直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，求出几何量，即可求出椭圆的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，确定线段AB的中点R的坐标，利用线段AB的垂直平分线l过定点Q（，0），可得不等式，从而可求实数k的取值范围解答：解：（1）设P（x0，y0）（y00），则G（）设I（x
26、I，yI），则IGF1F2，|F1F2|=2c，=|F1F2|y0|=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）2c3=2a+2c直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切b=a=2椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，由0，可得m24k2+3x1+x2=y1+y2=线段AB的中点R的坐标为（，）线段AB的垂直平分线l的方程为，R在直线l上，m=或点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题22已知aR，函数，g（x）=（ln
27、x1）ex+x（其中e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）在（0，e上的单调性；（2）是否存在实数x0（0，+），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由（3）若实数m，n满足m0，n0，求证：nnemmnen考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题分析：（1）由，知=由此进行分类讨论，能得到函数f（x）在（0，e上的单调性（2）由g（x）=（lnx1）ex+x，x（0，+），g（x）=（lnx1）ex+（lnx1）（ex）+1=（）ex+1，由（1）知，当a=1时，f（x）=在（0，+）上的最小值：f
28、（x）min=f（1）=0，由此能导出不存在实数x0（0，+），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直（3）由（2）知，令x=，得，由此能够证明nnemmnen解答：解：（1），x（0，+），=若a0，则f（x）0，f（x）在（0，e上单调递增；若0ae，当x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x（a，e时，f（x）0，函数f（x）在区间（a，e上单调递增，若ae，则f（x）0，函数f（x）在区间（0，e上单调递减（2）解：g（x）=（lnx1）ex+x，x（0，+），g（x）=（lnx1）ex+（lnx1）（ex）+1=（）ex+1，由（1）易知，当a=1时，f（x）=在（0，+）上的最小值：f（x）min=f（1）=0，即x0（0，+）时，又，10曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g（0）=0有实数解而g（x0）0，即方程g（x0）=0无实数解故不存在（3）证明：由（2）知，令x=，得，ln，nnemmnen点评：本题考查函数单调性的判断，考查实数是否存在的判断，考查不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答
