1、2016-2017学年湖北省宜昌一中高二（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=1，2，3，4，5，A=1，2，5，B=2，3，5，则（UA）B等于（）A2，3B2，5C3D2，3，52已知ab0，cd0，则（）ABCD3如果cos（+A）=，那么sin（+A）的值是（）ABCD4已知，若，则=（）A（1，）BCD5在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象可能是（）ABCD6若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Ax=（k
2、Z）Bx=+ （kZ）Cx=（kZ）Dx=+ （kZ）7ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形8a，b，c是不同的直线，是不同的平面，以下结论成立的个数是（）ab，bcacab，bcac，=a，babA1B2C3D49已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则b=（）ABCD10已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD11正项数列an满足：a1=2，a2=1，且=（n2），则此数列的第2 016项为（）ABCD12正方体ABCDA1B1C
3、1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：当P在BD1上运动时，恒有MN面APC；若A，P，M三点共线，则=；若=，则C1Q面APC；若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有n条，则m+n=7其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上13已知函数f（x）=，若f（2016）=e，则a=14已知cos（）=，sin（+）=，（，），（0，），则sin（+）的值为15已知a0，x，y满足约束条件若z=2
4、x+y的最小值为1，则a=16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）设x，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和18在ABC中，角A，B，C的对边分别为abc，且满足2bsin（C+）=a+c（I）求角B的大小；（）若点M为BC中点，且AM=AC，求sinBAC19设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=nan+anc（c是常数，nN*），
5、a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求使得Tn恒成立的最小的正整数n20如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角21某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3x与t+1成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与
6、“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等（利润=收入生产成本促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22已知函数f（x）=（xR）（1）证明：f（x）+f（1x）=；（2）若数列an的通项公式为an=f（）（mN*，n=1，2，3，m），求数列an 的前m项和Sm；（3）设数列bn满足：b1=，bn+1=bn2+bn，设Tn=+，若（2）中的Sm满足对任意不小于2的正整数n，SmTn恒成立，试求m的最大值2016-2017学年湖北省宜昌一中高
7、二（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=1，2，3，4，5，A=1，2，5，B=2，3，5，则（UA）B等于（）A2，3B2，5C3D2，3，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】直接利用补集与交集的运算得答案【解答】解：U=1，2，3，4，5，A=1，2，5，UA=3，4，又B=2，3，5，（UA）B=3，42，3，5=3故选：C2已知ab0，cd0，则（）ABCD【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：cd0，又
8、ab0，因此故选：C3如果cos（+A）=，那么sin（+A）的值是（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】根据题意结合诱导公式先对条件进行化简，然后对所求化简，进而可以得到答案【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，故选B4已知，若，则=（）A（1，）BCD【考点】平面向量的坐标运算【分析】由题意可得：，进而列方程组可得答案【解答】解：由题意可得：，所以13+3x=0，并且4+3y=0，所以x=，y=故选D5在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】结合对数函数和幂函数的图象和
9、性质，分当0a1时和当a1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案【解答】解：当0a1时，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象为：此时答案D满足要求，当a1时，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D6若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Ax=（kZ）Bx=+ （kZ）Cx=（kZ）Dx=+ （kZ）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据三角函数平移的性质，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度可得：y=cos
10、2（x+）=cos（2x+），根据余弦函数的性质可得：对称轴方程为：2x+=k，（kZ）化简即可得到对称轴方程【解答】解：由题意，函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，可得：y=cos2（x+）=cos（2x+），对称轴方程为：2x+=k（kZ），解得：x=（kZ），故选：C7ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【考点】三角形的形状判断【分析】由已知结合正弦定理可得sinCsinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA0从而有
11、sinAcosB0结合三角形的性质可求【解答】解：cosA，由正弦定理可得，sinCsinBcosAsin（A+B）sinBcosAsinAcosB+sinBcosAsinBcosAsinAcosB0 又sinA0cosB0 即B为钝角故选：A8a，b，c是不同的直线，是不同的平面，以下结论成立的个数是（）ab，bcacab，bcac，=a，babA1B2C3D4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用线线，面面的位置关系，即可得出结论【解答】解：ab，bc，根据平行公理可得ac，正确；ab，bc，则ac，a，c相交或异面，不正确；，相交，不正确；，=a，ba，b，则b，不正确故选A
12、9已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则b=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA，sinC的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB，进而利用正弦定理即可解得b的值【解答】解：因为ABC为锐角三角形，sinA=，cosC=，所以cosA=，sinC=，于是sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=又由=，a=1，可得b=故选：B10已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体
13、是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，据此可求出该几何体的体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，因此该几何体的体积V=故选：C11正项数列an满足：a1=2，a2=1，且=（n2），则此数列的第2 016项为（）ABCD【考点】等比数列的性质【分析】由=（n2），可知：=，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：由=（n2），可知：=，故数列为等差数列，于是=+（n1）=，所以an=，于是a2016=，故选：D12正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：当P在BD1上运
14、动时，恒有MN面APC；若A，P，M三点共线，则=；若=，则C1Q面APC；若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有n条，则m+n=7其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】棱柱的结构特征【分析】MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，即可判断出正误；若A，P，M三点共线，由D1MAB，由平行线的性质可得， =，即可判断出正误；若=，由可得：A，P，M三点共线，设对角线BDAC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1QOM，即可判断出正误若过点P且与正方体的
15、十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有且只有2条，即可判断出正误【解答】解：MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，故1错误若A，P，M三点共线，若A，P，M三点共线，由D1MAB，=，则=，正确；若=，由可得：A，P，M三点共线，设对角线BDAC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，C1QOM，而M点在平面APC内，C1Q平面APC相交，因此正确；若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条连接B1C，
16、A1C1AC，由正方体的性质可得AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有且只有2条，过P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有4条，则m+n=6条，因此不正确其中正确命题为，其个数为2故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上13已知函数f（x）=，若f（2016）=e，则a=1【考点】函数的值【分析】根据函数的解析式得到f（2016）=f（1），代入表达式，求出a的值即可【解答】解：f（2016）=f=f（1）=ae=e，解得：a=1，故答案为：114已知co
17、s（）=，sin（+）=，（，），（0，），则sin（+）的值为【考点】两角和与差的正弦函数【分析】先求出sin（）和cos（）的值，利用sin（+）=sin（+）=sin（）（），求出sin（+）的值【解答】解：，0，sin（）=，cos（）=，sin（）（）=sin（） cos（）cos（） sin（）=（）（）（）（）=sin（+）=sin（+），sin（+）=，故答案为15已知a0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即
18、可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x3）得，a=；故答案为：16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为6【考点】余弦定理【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA，进而利用余弦定理，基本不等式即可得解【解答】解：在ABC中，1+=，整理可得： =，=，sinAcosB=2sinCcosAsinBcosA，sinC=2sinCcosA，cosA=，可得：A=60，由余弦定理可得：9=a2=b2+c22bccos=
19、（b+c）23bc，即（b+c）2=9+3bc9+，解得：（b+c）236，b+c6，当且仅当b=c时，（b+c）max=6故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）设x，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直
20、线y=m（mR）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象，可得A=2，根据=，求得=2再根据五点法作图可得2+=，=，f（x）=2sin（2x+）（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（mR）的图象，由图可知，当2m0或m2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根m的取值范围为：2m0或m2； 当2m0时，两根和为； 当m2时，两根和为18在ABC中，角A，B，C的对边分别为abc，且满足2bsin（C+）=a+c（I）求角B的大
21、小；（）若点M为BC中点，且AM=AC，求sinBAC【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBsinC=cosBsinC+sinC，由于sinC0，可得sinB=cosB+1，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cosB1=0，解得cosB，即可求得B的值（2）设AB=c、BC=a，在ABC、ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在ABC中由正弦定理求出sinBAC的值【解答】解：（I）2bsin（C+）=a+c2b（sinC+cosC）=a+c
22、bsinC+bcosC=a+csinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinCsinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC0）sinB=cosB+1，3sin2B=cos2B+1+2cosB，2cos2B+cosB1=0，cosB=或1（由于B（0，），舍去），B=（）设AB=c、BC=a，在ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c22accosB=a2+c2ac，在ABM中同理可得：AM2=（）2+c22ccosB=+c2ac，因为AM=AC，所以：a2+c2ac=+c2ac，化简得3a=2c，代入A
23、C2=a2+c22accosB，可得：AC2=a2+（）2a=a2，解得：AC=a，在ABC中，由正弦定理得，解得：sinBAC=19设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=nan+anc（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求使得Tn恒成立的最小的正整数n【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（）由Sn=nan+anc，得a1=2c，a2=3c，从而得到c=2，由此能求出c的值及数列an的通项公式（）由=，利用错位相减法得到Tn=2，由此能求出正整数n的最小值【解答】解：（）因为Sn=nan+anc，所以当n=1时，解得a1=
24、2c，当n=2时，S2=a2+a2c，即a1+a2=a2+a2c，解得a2=3c，所以3c=6，解得c=2，则a1=4，数列an的公差d=a2a1=2，所以an=a1+（n1）d=2n+24分（）因为=，6分所以Tn=+，=+，得： =1，所以Tn=2，8分因为Tn+1Tn=（2）（2）（2）=0，所以数列Tn单调递增，10分所以Tn=2，所以n1111分故正整数n的最小值为1112分20如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）利用
25、线面平行的判定定理与性质定理即可证明（2）由（1）的证明知PNBD，可得NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角再利用正方形的性质即可得出【解答】（1）证明：截面PQMN是平行四边形，PNQM，又PN平面BCD，QM平面BCDPN平面BCDPN平面ABD，平面ABD平面BCD=BDPNBD，PN截面PQMN，BD截面PQMN，BD截面PQMN（2）解：由（1）的证明知PNBD，NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角截面PQMN是正方形，NPM=45异面直线PM与BD所成的角是45021某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x
26、万件与年促销费用t万元之间满足3x与t+1成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等（利润=收入生产成本促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根据题意，3x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时
27、，x=1，求出k的值（2）通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数（3）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大【解答】解 （1）设比例系数为k（k0）由题知，有又t=0时，x=1（2）依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3+32x）万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：（）元/件于是，进一步化简，得因此，工厂2010年的年利润万元（3）由（2）知，所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元22已知函数f（x）=（xR）（1）证明：f（x）+f（1x）
28、=；（2）若数列an的通项公式为an=f（）（mN*，n=1，2，3，m），求数列an 的前m项和Sm；（3）设数列bn满足：b1=，bn+1=bn2+bn，设Tn=+，若（2）中的Sm满足对任意不小于2的正整数n，SmTn恒成立，试求m的最大值【考点】数列的求和；函数恒成立问题；数列递推式【分析】（）由函数表达式证明，只需要把函数表达式代入然后化解即可（）由1中证明的结果代入通项公式推得，然后根据前n项和与通项的关系求得数列an的前m项和Sm（）由数列bn满足的条件求得再用（）中的Sm满足SmTn恒成立，直接代入求解【解答】（）证明：，故答案为（）解：由（）可知，即，又Sm=a1+a2+am1+amSm=am1+am2+a1+am+得，答案为；（）解：对任意nN*，bn0，bn+1bn=bn20，bn+1bn数列bn是单调递增数列Tn关于n递增，当n2，且nN*时，TnT2，由题意，即，m的最大值为6故答案为62016年11月9日
