1、组合数学培训系列1 排列组合常见题型及解题策略 排列组合中的计数问题是组合数学的基本内容也是竞赛的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合计数题的有效途径.一.可重复的排列求幂法： 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理
2、、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法种数有 【例2】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 三相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个
3、元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答） 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但
4、是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.【例6】.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？四元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小
5、赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？ 五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为 （3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素
6、要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 六定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？ 【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 七标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例
7、1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 【例3】同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有 【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有 八不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？分成1本、2本、3本
8、三组； 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； 分成每组都是2本的三个组； 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； 分给5人每人至少1本。 【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有 【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2
9、个,则该外商不同的投资方案有 【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？ 【例8】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 九相同元素的分配问题隔板法：【例1】：把20
10、个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？ 【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有 种【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少
11、种？ 十多面手问题（ 分类法-选定标准） 【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？ 变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式? 十一走楼梯问题 （分类法与插空法相结合,或者用递归数列）【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那
12、么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有 十二排数问题（注意数字“0”）【例1】（1）由数字0，1，2，3， 4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 （2）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 十三染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_.十四 几何中的排列组合问题:【例1】 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
