1、2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1设集合M=x|x23x40，N=x|x3|1，则MN=（）A（2，4）B（2，4C2，4D（1，42下列命题中为真命题的是（）A若x0，则x+2B命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1且x1，则x21C“a=1”是“直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D若命题P：xR，x2x+10，则P：xR，x2x+103函数y=（x21）2+2的极值点是（）Ax=1Bx=1或0Cx=1或1或0Dx=0或14在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=
2、（）A58B88C143D1765在ABC中，则BC边上的高为（）ABCD6若a0，b0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）AB1C4D87已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD8已知双曲线=1（a0，b0）的离心率e，2，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）ABCD9已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）ABC4D10已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）AB
3、CD11若函数在区间1，4上单调递减，则实数a的取值范围是（）A（，162，+）B（16，2）C2，+）D（，1612已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y二填空题（每题5分，共20分）13若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为14曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线方程为15已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为16双曲线的一条渐
4、近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=三解答题（共70分）17已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）1的解集是R，求m的取值范围18已知等比数列an的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4=（1）求数列an的通项公式；（2）求证：Sn19已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，bR），g（x）=f（x）+f（x）是奇函数（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间1，2上的
5、最大值和最小值20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围21已知函数f（x）=2lnx+a（x）（1）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=4x4，求实数a的值；（2）若（1x）f（x）0，求实数a的取值范围22如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；
6、若不存在，说明理由2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1设集合M=x|x23x40，N=x|x3|1，则MN=（）A（2，4）B（2，4C2，4D（1，4【考点】交集及其运算【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出MN即可【解答】解：集合M=x|x23x40=x|1x4，N=x|x3|1=x|1x31=x|2x4，则MN=x|2x4=（2，4）故选：A2下列命题中为真命题的是（）A若x0，则x+2B命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1且x1，则x21C“a=1”是“直线xay=0与直线x+a
7、y=0互相垂直”的充要条件D若命题P：xR，x2x+10，则P：xR，x2x+10【考点】命题的真假判断与应用【分析】对四个命题，分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，x0，利用基本不等式，可得x+2，故不正确；对于B，命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1且x1，则x21，正确；对于C，“a=1”是“直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题P：xR，x2x+10，则P：xR，x2x+10，故不正确故选：B3函数y=（x21）2+2的极值点是（）Ax=1Bx=1或0Cx=1或1或0Dx=0或1【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出
8、函数的导数，通过导数为，求解函数的极值点即可【解答】解：函数y=（x21）2+2=x42x2+3，可得：y=4x34x=4x（x1）（x+1），令4x34x=0，可得x=1，或x=1或x=0，x（，1），x（0，1）函数是减函数；x（1，0），x（1，+）函数是增函数，所以函数的极值点为：1，1，0故选：C4在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A58B88C143D176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果【解答】解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1
9、+a11=a4+a8=16，S11=88，故选B5在ABC中，则BC边上的高为（）ABCD【考点】解三角形【分析】在ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB可求AB=3，作ADBC，则在RtABD中，AD=ABsinB【解答】解：在ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB，把已知AC=，BC=2，B=60代入可得，7=AB2+44AB，整理可得，AB22AB3=0，AB=3作ADBC垂足为D，RtABD中，AD=ABsin60=，即BC边上的高为故选C6若a0，b0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）AB1C4D8【考点】基本不等式【分析】
10、依题意，可求得a+b=1，利用基本不等式即可求得答案【解答】解：a0，b0且ln（a+b）=0，a+b=1，+=（a+b）（+）=1+1+4（当且仅当a=b=时取“=”）则的最小值是4故选C7已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项【解答】解：由导数的图象可得，导函数f（x）的值在1，0上的逐渐增大，故函数f（x）在1，0上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的导函数f（x）的值在0，1上的逐渐减小，故函数f（x）在0，1上增长
11、速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B8已知双曲线=1（a0，b0）的离心率e，2，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由及c2=a2+b2，得的取值范围，设一条渐近线与实轴所成的角为，可由tan=及0探求的取值范围【解答】解：e，24，又c2=a2+b2，24，即13，得1由题意知，为双曲线的一条渐近线的方程，设此渐近线与实轴所成的角为，则，即1tan0，即的取值范围是故答案为：C9已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）ABC4D【考点】抛物线的简单性质【分析】关键点M（
12、2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p0）点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+=3p=2抛物线方程为y2=4xM（2，y0）|OM|=故选B10已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得
13、到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2， =，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆E的方程为故选D11若函数在区间1，4上单调递减，则实数a的取值范围是（）A（，162，+）B（16，2）C2，+）D（，16【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=2x24x+a，f（x）在1，4递减，f（x）=2x24x+a0在1，4恒成立，即a2x2+4x在1
14、，4恒成立，令g（x）=2x2+4x，x1，4，则g（x）=4x+4=4（x1），令g（x）0，解得：1x1，令g（x）0，解得：1x4，故函数g（x）在1，1）递增，在（1，4递减，而g（1）=6，g（1）=2，g（4）=16，故g（x）的最小值是16，故a16，故选：D12已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线
15、的距离求出p，即可得到抛物线的方程【解答】解：双曲线C1：的离心率为2所以，即： =4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8抛物线C2的方程为x2=16y故选D二填空题（每题5分，共20分）13若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即C（1
16、，），代入目标函数z=x+y得z=1+=即目标函数z=x+y的最大值为故答案为：14曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线方程为5x+y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可【解答】解：y=5ex，y|x=0=5因此所求的切线方程为：y+2=5x，即5x+y+2=0故答案为：5x+y+2=015已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为1【考点】椭圆的简单性质【分析】如图所示，由题意可得：MF1MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a
17、c，|F1F2|=2c，利用勾股定理可得c2+（2ac）2=4c2，即可得出【解答】解：如图所示，由题意可得：MF1MF2，|MF2|=c，|MF1|=2ac，|F1F2|=2c，c2+（2ac）2=4c2，化为c2+2ac2a2=0，即e2+2e2=0，e（0，1）解得e=1故答案为：16双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=【考点】双曲线的简单性质【分析】由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所
18、求值【解答】解：由于双曲线的一条渐近线y=x与直线x+2y+1=0垂直，则一条渐近线的斜率为2，即有b=2a，c=a，|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|F2A|=2a，解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得cosAF2F1=，故答案为三解答题（共70分）17已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）1的解集是R，求m的取值范围【考点】绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法【分析】对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域根
19、据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x2|5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案对于（2）由关于x的不等式f（x）1，得到|x+1|+|x2|m+2因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x2|3，令m+23，求解即可得到答案【解答】解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（，2）（3，+）；（2）不等式f（x）1即log2（|x+1|+|x2|m）1即|x+1|+|x2|m+2，xR时，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m
20、+2解集是R，m+23，m的取值范围是（，1故答案为：（，118已知等比数列an的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4=（1）求数列an的通项公式；（2）求证：Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）根据S1，2S2，3S3成等差数列建立等式，求出q的值，然后根据等比数列的求和公式建立等式，可求出的首项，从而求出数列的通项；（2）运用等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，S1，2S2，3S3成等差数列4S2=S1+3S3，即4（a1+a2）=a1+3（a1+a2+a3），a2=3a3，即q=，又S4=，=，解得
21、a1=1，an=（）n1；（2）证明：Sn=（1），即有Sn19已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，bR），g（x）=f（x）+f（x）是奇函数（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间1，2上的最大值和最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；奇函数【分析】（）由f（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（x）=g（x），利用待系数法求解（2）由（1）知，再求导g（x）=x2+2，由g（x）0求得增区间，由g（x）0求得减区间；求最值时从极值和端
22、点值中取【解答】解：（1）由题意得f（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因为函数g（x）是奇函数，所以g（x）=g（x），即对任意实数x，有a（x）3+（3a+1）（x）2+（b+2）（x）+b=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b从而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表达式为（2）由（）知，所以g（x）=x2+2，令g（x）=0解得则当时，g（x）0从而g（x）在区间，上是减函数，当，从而g（x）在区间上是增函数，由前面讨论知，g（x）在区间1，2上的最大值与最小值只能在时取得，而，因此g（x）在区间1，2上
23、的最大值为，最小值为20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围【解答】解：（1）由已知得：cos（A+B）+cosAcosBsinA
24、cosB=0，即sinAsinBsinAcosB=0，sinA0，sinBcosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）a+c=1，即c=1a，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即b2=a2+c2ac=（a+c）23ac=13a（1a）=3（a）2+，0a1，b21，则b121已知函数f（x）=2lnx+a（x）（1）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=4x4，求实数a的值；（2）若（1x）f（x）0，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；（2）讨论当x1时，f
25、（x）0即有2lnx+a（x）0恒成立，当0x1时，f（x）0即有2lnx+a（x）0恒成立，通过函数的单调性的判断，以及参数分离，即可得到a的范围【解答】解：（1）函数f（x）=2lnx+a（x）的导数为f（x）=+a（1+），由题意可得f（1）=2+2a=4，解得a=1；（2）若（1x）f（x）0，则当x1时，f（x）0即有2lnx+a（x）0恒成立，由f（1）=0，可得f（x）在1，+）递减，即f（x）0恒成立，即为0在x1恒成立，则a=，由x+2当且仅当x=1取得等号，则1，则a1解得a1；当0x1时，f（x）0即有2lnx+a（x）0恒成立，由f（1）=0，可得f（x）在（0，1递减
26、，即f（x）0恒成立，即为0在0x1恒成立，则a=，由x+2当且仅当x=1取得等号，则1，则a1解得a1综上可得a的范围是（，122如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭
27、圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：
28、由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，在方程中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而， =k注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k代入得k1+k2=2k=2k1又k3=k，所以k1+k2=2k3故存在常数=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x01），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2=2k3，故存在常数=2符合题意2017年2月20日
