1、第十三章 计数原理与概率 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标 学法指导 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.运用计数原理解决问题时,要明确完成一件事情可以有不同类的方法还是需要分几步才能完成,并且要准确确定出每一类或每一步的方法数;对于复杂问题可同时应用两个原理.知识链条完善 把散落的知识连起来 一、分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=
2、种不同的方法.二、分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法.网络构建 m1+m2+mn m1m2mn 拓展空间 概念的理解(1)分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.(2)有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”或“分步”可以解决的,而要将“分类”和“分步”结合起来运用.(3)两个原理的地位有差别,分类计数更具有一般性,故通常是先“分类
3、”,然后再在每一类中“分步”,分类时标准要明确,做到不重不漏,适当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚.温故知新 1.为便民惠民,某通信运营商推出“优惠卡活动”.其内容如下:卡号的前七位是固定的,后四位从“0000”到“9999”共10 000个号码参与该活动,凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为“优惠卡”,则“优惠卡”的个数是()(A)1 980(B)4 096 (C)5 904(D)8 020 解析:卡号后四位不带“6”和“8”的个数为84=4 096,故带有“6”或“8”的“优惠卡”有5 904个.故选C.C 2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端
4、点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有()(A)1种(B)3种 (C)6种(D)9种 C 3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()(A)10种(B)20种 (C)25种(D)32种 解析:因为规定每个同学必须报名,则每人只有2个选择。报名方法有22 222=32种.D 4.所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有()(A)45个(B)36个 (C)30个(D)50个 5.三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过3次传递后,毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有()(A)5种(B)2种 (C)3种(D)4种 B B 6
5、.6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有 种.解析:根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有666=216.答案:216 7.设a,b,c1,2,3,4,5,6,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有 个.解析:先考虑等边的情况,a=b=c=1,2,6,有六个.再考虑等腰的情况,若a=b=1,ca+b=2,此时c=1,与等边重复;若a=b=2,ca+b=4,则c=1,3,有两个;若a=b=3,ca+b=6,则c=1,2,4,5,有四个;若a=b=4,ca+b=8,则c=1,2,3,5,6,有五个;若a=b=5,ca+b=10,则c=1,2,3,4,6,有五
6、个;若a=b=6,c0,n0)的焦点在 y 轴上,且 m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为 .解析:由题意知nm,当m=1时,n有6种取法;当m=2时,n有5种取法;当m=3时,n有4种取法;当m=4时,n有3种取法;当m=5时,n有2种取法;由分类加法计数原理知,符合条件的椭圆共有6+5+4+3+2=20个.答案:20 考点二 分步乘法计数原理的应用【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每
7、人参加的项目不限.解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,知共有报名方法36=729(种).(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法654=120(种).(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216(种).反思归纳 利用分步乘法计数原理解决问题(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;(2)分步要做到“步骤完整”,即只有完成了所有步骤,
8、才完成任务;(3)对完成各步的方法数要准确确定.迁移训练 将五个1,五个2,五个3,五个4,五个5,共25个数填入一个五行五列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2,考察每列中五个数之和,记这五个数和的最小值为m,则m的最大值为()(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 C 解析:依据五个1分布的不同情况进行讨论,确定m的最大值.若五个1分布在同一列,则m=5;若五个1分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数为3,故2m51+53=20,故m10;若五个1分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数为3,故3m51+52+53=30,故m10;若五个1分布
9、在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾.综上所述,m10.另一方面,如下表的例子说明m可以取到10.故m的最大值为10.考点三 两个计数原理的综合应用【例3】用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)思路点拨:按首位数字的奇偶性分类,在每一类中根据特殊位置(末位)优先原则进行分步.解析:当首位数字为奇数时,首位取法有3种,末位取法有4种,百位取法有5种,十位取法有4种,根据分步乘法计数原理,有3454=240种取法,当首位数字为偶数时,首位取法有3种,末位取法有3种,百位取法有5种,十位取法有4种,根据分步乘法计数原理,有3354
10、=180种取法,根据分类加法计数原理,共可组成240+180=420个无重复数字的四位偶数.答案:420 反思归纳 (1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”,步步相连才能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.【例4】用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(2),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.(1)若n=6,为图(1)着色时共有多少种不同的方法?(2)若为图(2)着色时共有120种不同的方法,求n.解:(1)为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,
11、为C着色有4种方法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6544=480(种).(2)图(2)与图(1)的区别在于与D相邻的区域由2块变成了3块,同理,不同的着色方法种数是 n(n-1)(n-2)(n-3).因为n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又120480,所以可分别将n=4,5代入得n=5时上式成立.所以n=5.反思归纳 涂色问题的实质是分类与分步的综合运用,一般是整体分步,分步过程中若出现某一步需要分情况说明时,还要进行分类.迁移训练 1.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()(A)2
12、40(B)204(C)729(D)920 解析:若a2=2,则凸数有12=2个;若a2=3,则凸数有23=6个;若a2=4,则凸数有34=12个;若a2=9,则凸数有89=72个.所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).故选A.A 2.若一个无重复数字的四位数的各位数字之和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”有()(A)53个(B)59个 (C)66个(D)71个 解析:无重复数字且相加等于10的四个数字分别是(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),共五组.其中第一组(0,1,2,7)中,7排首位有32=6(种)情况;2排首位,1或7排在第二位,有22=4(种)情况;2排首位,0排第二位,7排第三位有1种情况.共6+4+1=11(种)情况符合题设.第二、三组中3,6与4,5分别排首位,各有232=26=12(种)情况,共有212=24(种)情况符合题设.第四、五组中2,3,5与2,3,4分别排首位,各有33 2=36=18(种)情况,共有218=36(种)情况符合题设.依据分类加法计数原理可知,符合题设条件的“完美四位数”共有11+24+36=71(个),选D.D 点击进入课时训练
