1、第四节 函数y=Asin(x+)与 y=Acos(x+)的图象与性质(一)备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标 学法指导 1.y=Asin(x+)的图象(1)用五点法画出 y=Asin(x+)的图象.(2)y=Asin(x+)与 y=sin x 的图象间的关系.(3)函数 y=Asin(x+)的振幅、周期.(4)函数 y=Asin(x+)的频率、相位和 初相.1.由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(x+)的图象时注意两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对
2、 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 x 加减多少值.2.掌握函数 y=Acos(x+)的图象与 y=Asin(x+)的图象的联系.2.作函数 y=Asin(x+)的图象应注意的问题(1)首先要确定函数的定义域;(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.3.由函数图象求解析式的方法(1)如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数表达式y=Asin(x+)中的参数 A 和,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“x+=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得.(2)通过若干特殊点代入函数式,可
3、以求得相关待定系数 A,.依据是五点法.(3)运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数.知识链条完善 把散落的知识连起来 网络构建 一、y=Asin(x+)(A0,0)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 y=Asin(x+)(A0,0)A T=2 f=1T=2 x+二、用“五点法”作函数 y=Asin(x+)(A0,0)的图象的一般步骤 1.定点:如表.x-2 3 2 2 x+0 2 32 2 y=Asin(x+)0 A 0-A 0 2.作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象.3.扩展:将所得图象,按周期向两侧
4、扩展可得 y=Asin(x+)在 R 上的图象.三、由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤 法一 法二 画出 y=sin x 的图象 画出 y=sin x 的图象 得到 y=sin(x+)的图象 得到 y=sin x 的图象 得到 y=sin(x+)的图象得到 y=sin(x+)的图象 得到 y=Asin(x+)的图象得到 y=Asin(x+)的图象 拓展空间 1.法则理解(1)无论哪种变换,每一个变换总是针对“自变量 x”而言的.即图象变换要看“自变量 x”发生什么变化,而不是看角“x+”的变化.(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后
5、平移”两种途径,左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移|个单位长度,后者平移|个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量 x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误.(3)平移的法则是“左+右-,上+下-”.2.与确定解析式 y=Asin(x+)+b 中参数相关的结论(1)求 代入法.把图象上的一个已知点代入(此时 A,b 已知)或代入图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).五点法.确定 值时,往往寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下:选“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时,令x+=0
6、;选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令x+=2;选“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时,令x+=;选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令x+=32;选“第五点”时,令x+=2.(2)求:因为 T=2,所以求即求 T.图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是 2T.图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为 2T,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为 4T.温故知新 1.设函数 f(x)=cos x(0),将 y=f(x)的图象向右平移 3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于()(A)13(B)3 (C)6 (D)9 C 解
7、析:由题意可知,nT=3(nN*),所以 n 2=3(nN*),所以=6n(nN*),所以当 n=1 时,取得最小值 6.故选 C.B 2.为了得到函数 y=sin(2x-3)的图象,只需把函数 y=sin(2x+6)的图象()(A)向左平移 4个单位长度 (B)向右平移 4个单位长度(C)向左平移 2个单位长度 (D)向右平移 2个单位长度 解析:y=sin(2x+6)=sin2(x+12),y=sin(2x-3)=sin2(x-6)=sin2(x-4+12),所以将 y=sin(2x+6)的图象向右平移 4个单位长度得到 y=sin(2x-3)的图象.故选 B.C 3.如图是函数 y=As
8、in(x+)+2(A0,0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是()(A)A=3,T=43,=-6(B)A=1,T=43,=34(C)A=1,T=43,=-34(D)A=1,T=43,=-6 解析:由图象知,A=3 12=1,2T=56-6=23,则 T=43,=32,由 56 32+=2+2k,kZ,得=-34+2k,kZ,令 k=0,得=-34.故选 C.4.函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为 .解析:由图可知 A=2,4T=712-3=4,所以 T=,故=2,因此 f(x)=2 sin(2x+).又函数图象过点(3,0)因此
9、 2 3+=+2k,kZ,又根据|0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 .解析:y=3 cos x+sin x=2(32 cos x+12sin x)=2sin(x+3)的图象向左平移 m个单位长度后,得到 y=2sin(x+m+3)的图象,此图象关于 y 轴对称,则 x=0 时,y=2,即 2sin(m+3)=2,所以 m+3=2+k,kZ,即 m=6+k,kZ,由于 m0,所以 mmin=6.答案:6 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 五点法作图【例 1】设 xR,函数 y=f(x)=cos(x+)(0,-2 0)的最小正周期为,且f(4)=32.(1)
10、求 和 的值;解:(1)因为函数 f(x)的最小正周期 T=2=,所以=2,因为 f(4)=cos(2 4+)=cos(2+)=-sin =32,且-2 22,即 cos(2x-3)22,所以 2k-42x-32k+4,kZ,则 2k+122x2k+712,kZ,即 k+24 xk+724,kZ.所以 x 的取值范围是x|k+24 x22,求 x 的取值范围.反思归纳 用“五点法”作 y=Asin(x+)或 y=Acos(x+)的简图,主要是通过列表,计算得出五点的坐标,描点后得到,由于表中“五点”相邻两点的横向距离均为 4T,因此可以通过“定两端,分中间”的方法快速写出“五点”的坐标.迁移训
11、练 某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(x+),0,|0 可知,当 k=1 时,取得最小值 6.(2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为(512,0),求 的最小值;解:(3)把 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 6个单位长度,得到 y=sin(x-6)的图象,再把 y=sin(x-6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的 12(纵坐标不变),得到 y=sin(2x-6)的图象,最后把 y=sin(2x-6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5 倍(横坐标不变),即可得到 f(x)=5sin(2x-6
12、)的图象.(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.考点二 函数 y=Asin(x+)(A0,0)的图象变换【例 2】(1)将函数 f(x)=2sin(2x+4)的图象向右平移(0)个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 12(纵坐标不变),所得图象关于直线 x=4对称,则 的最小值为()(A)18 (B)12 (C)34 (D)38 解析:(1)将函数 f(x)=2sin(2x+4)的图象向右平移(0)个单位,可得函数y=2sin2(x-)+4=2sin(2x+4-2)的图象,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 12(纵坐标不变),可得函数 y=2si
13、n(4x+4-2)的图象;再根据所得图象关于直线 x=4对称,可得+4-2=k+2(kZ),即=38-2k,kZ,所以的最小值为 38,故选 D.解析:(2)将函数 y=cos(2x+)的图象沿 x轴向右平移 6后,得到的图象对应的解析式为y=cos2(x-6)+=cos(2x-3+).再根据得到的图象关于原点对称,则-3+=k+2,kZ,即=k+56,kZ.结合所给的选项,故选 D.(2)将函数 y=cos(2x+)的图象沿 x 轴向右平移 6后,得到的图象关于原点对称,则 的一个可能取值为()(A)-3(B)6(C)3(D)56 反思归纳 (1)解决三角函数图象变换问题,应先把变换前后两个
14、函数化为同名函数,然后找出它们的不同,指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向,其实质是点的坐标的变换,横坐标的变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.迁移训练 将函数 f(x)=sin(2x+)(-2 0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0,32),则 的值可以是()(A)53(B)56(C)2(D)6 B 解析:因为函数 f(x)的图象过点 P,所以=3,所以 f(x)=sin(2x+3).又函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 g(x)=sin2(x-)+3的图象,所以 sin(3-2)=
15、32,所以 可以为 56.故选 B.考点三 求函数 y=Asin(x+)+b 的解析式【例 3】(1)函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则 f(x)等于()(A)2 sin(2x-6)(B)2 sin(2x-3)(C)2 sin(4x+3)(D)2 sin(4x+6)答案:(1)B 解析:(1)由题图知 f(x)在 x=512 时取得最大值2,且最小正周期 T 满足 34T=512+3.故 A=2,34 2=34,=2,2 sin(2 512+)=2,sin(56+)=1,56+=2 k +2,k Z,=2k -3,k Z.所以 f(x)的 解析 式可 为 f(x
16、)=2 sin(2x-3).故选 B.(2)已知函数 f(x)=Asin(x+),xR(其中 A0,0,0 0,0)的解析式的步骤(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=2Mm,b=2Mm.(2)求,确定函数的周期 T,则=2T.(3)求,常用方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法:确定 值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.迁移训练 已知函数 f(x)=Atan(x+)(0,|2),y=f(x)的部分图象如图,则 f(24)等于()(A)2+3 (B)3 (C)33 (D)2-3
17、 B 解析:由图象可知 T=2(38-8)=2,所以=2,所以 2 8+=k+2,kZ,得=4+k,kZ,又|0)与g(x)=cos(2x+)的对称轴完全相同,为了得到 h(x)=cos(x+3)的图象,只需将 y=f(x)的图象()(A)向左平移 4个单位长度(B)向右平移 4个单位长度(C)向左平移 2个单位长度(D)向右平移 2个单位长度 解析:因为对称轴一样,所以两个三角函数的周期必定一样,即=2,所以f(x)=sin(2x+3),h(x)=cos(2x+3)=sin2(x+4)+3,故得到 h(x)的图象仅需将 y=f(x)的图象向左平移 4个单位长度,故选 A.易错分析 (1)忽略
18、函数名称的不同,误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数的存在,误将x的变换认为是x的变换.迁移训练 已知函数 f(x)=sin(x+)(0,|2)的最小正周期是,若将 f(x)的图象向右平移 3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象()(A)关于直线 x=12对称(B)关于直线 x=512对称(C)关于点(12,0)对称(D)关于点(512,0)对称 B 解析:因为 f(x)的最小正周期为,所以 2=,=2,所以 f(x)的图象向右平移 3个单位后得到 g(x)=sin2(x-3)+=sin(2x-23+)的图象,又 g(x)的图象关于原点对称,所以-23+=k,kZ,所
19、以=23+k,kZ,又|2,所以=-3,所以 f(x)=sin(2x-3).当 x=12时,2x-3=-6,所以 A,C 错误;当 x=512时,2x-3=2,所以 B 正确,D 错误.故选 B.解题规范夯实 在平凡的事情上精益求精 三角函数图象【例题】已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x 的图象经如下变换得到:先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移 2个单位长度.(1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(1)解:将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y=
20、2cos x 的图象,再将 y=2cos x 的图象向右平移 2个单位长度后得到y=2cos(x-2)的图象,故 f(x)=2sin x.从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为 x=k+2(kZ).(2)a.解:f(x)+g(x)=2sin x+cos x=5(25sin x+15cos x)=5 sin(x+)(其中 sin =15,cos =25).依题意知,sin(x+)=5m 在 0,2)内有两个不同的解,当且仅当|5m|1,故 m的取值范围是(-5,5).(2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在0,2)内有两个不同的解,.a.求实数 m 的取值范围;b.证
21、明:cos(-)=225m-1.b.证明:因为,是方程5 sin(x+)=m 在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=5m,sin(+)=5m.当 1m5 时,+=2(2-),即+=-(+);当-5 m0,0)的图象的一段.(1)求其解析式;解:(1)由图象知 A=3,由“五点法”列方程组0,35,6 解之2,2.3 得 所以所求解析式为 y=3 sin(2x-23).解:(2)f(x)=3 sin2(x+6)-23=3 sin(2x-3),令 2x-3=2+k(kZ),则 x=512+2k(kZ),所以 f(x)的对称轴方程为 x=512+2k(kZ).(2)若将 y=Asin(x+)
22、的图象向左平移 6个单位长度后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程.解:(1)原方程可化为 sin(x+3)=-2a,作出函数 y=sin(x+3)(x(0,2)的图象.由图知,方程在(0,2)内有相异实根,的充要条件是11,23.22aa 即-2a-3 或-3 a2.【规范训练 2】设关于 x 的方程3 cos x+sin x+a=0 在区间(0,2)内有相异的两个实根,.(1)求实数 a 的取值范围;解:(2)由图知,当-3 a2,即-2a(-1,32)时,直线 y=-2a 与三角函数 y=sin(x+3)的图象交于 C,D 两点,它们中点的横坐标为 76,所以2=76,所以+=73
23、.当-2a0,0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为()(A)y=2sin(2x+3)(B)y=2sin(2x+23)(C)y=2sin(2x-3)(D)y=2sin(2x-3)B 解析:由题图可知 A=2,2T=512-(-12)=2,所以 T=,=2,所以 f(x)=2sin(2x+),又 f(-12)=2sin(-6+)=2,即-6+=2+2k,kZ,所以=23+2k(kZ),结合选项知选 B.4.已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)图象的最高点的纵坐标是 4,相邻的两对称中心距离为 2,图象经过点(6,0),则函数 f(x)的解析式为 .解析:由题意知 A=4,T=
24、2 2=,所以 2=,则=2,所以 f(x)=4sin(2x+).又函数图象经过点(6,0),所以 4sin(2 6+)=0,所以+3=k(kZ),所以=k-3(kZ),又|0,0,|2)的部分图象如图所示,若 x1,x2(-6,3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于()(A)1(B)12(C)22 (D)32 D 解析:观察图象可知,A=1,T=,所以=2,f(x)=sin(2x+).将(-6,0)代入上式得 sin(-3+)=0,由|2,得=3,则 f(x)=sin(2x+3).函数图象的一条对称轴为 x=632=12.又 x1,x2(-6,3),且 f(x1)=f(x2),所以122xx=12,所以 x1+x2=6,所以 f(x1+x2)=sin(2 6+3)=32.故选 D.7.已知直线 y=b(b0)与曲线 y=f(x)=sin(2x+2)在 y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则 b 的值是 .解析:设三个横坐标依次为 x1,x2,x3,由图及题意有1223221 3,2,xxxxxx x解得 x2=23,所以 b=f(23)=-12.答案:-12 点击进入课时训练
