1、20192020学年度第二学期高三年级5月联考数学参考答案参考公式：1.方差公式：；2.球的体积公式：，是球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1 2 3 64 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 证明：（1）因为,，为的中点.， 所以，所以四边形是平行四边形，所以 3分又因为平面,平面 所以平面. 6分 （2）因为平面平面 平面平面 ,平面所以平面
2、. 8分因为平面.所以 10分因为分别为的中点，所以， 所以 因为，所以 12分因为平面,平面,所以平面. 14分16 解：（1）在中，由余弦定理得 2分所以 4分因为，是三角形的内角，所以 6分所以 8分（2）在中，由正弦定理得 10分 12分所以 14分注：其它方法酌情给分！17 解：（1）由题意知， 2分， 4分则，即， 6分（2） 8分因为，所以所以， 10分故当时，恒成立，所以在上单调递增， 12分故当时，答：当为时，矩形EFGH的面积最大，最大值为 14分18 解：（1）由题设可知，所以，故，因此所以椭圆的方程为 3分（2）设若，则直线的方程为联立直线与椭圆的方程，即，消去，化简得
3、， 5分所以又，7分点到直线的距离，所以当且仅当，即时，取得最大值1. 9分设直线的方程为.将直线与椭圆的方程联立，即消去，化简得 11分所以.所以-=， 14分因为的值与点的位置无关，即上式取值与无关，故有，解得 16分19 解：（1）当时，则，在处的切点为，切线斜率为，所以函数在处的切线方程为. 3分（2）因为.所以的定义域为； ，又因为函数在定义域上为单递增函数，所以在时恒成立， 即在时恒成立， 6分设，则，当时，则在上为减函数，当时，则在上为增函数， 8分在时恒成立，所以. 9分（3）因为，所以，则不可能对恒成立，即在定义域上不可能始终都为减函数， 10分由（2）知函数为增函数，所以若
4、函数在定义域上不是单调函数又因为，所以是函数一个零点,令，得设，则与有相同的零点，令，得，因为，所以，所以有两个不相等实数解，因为，所以不妨设， 12分当时，在为增函数当时，在为减函数当时，在为增函数则 14分又因为时，又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点又因为是函数一个零点,综上函数必有三个不同零点. 16分20 解:（1）因为an，所以Sn1()n， 2分所以an1Sn()n11()n()n110，所以an1Sn，即anM 4分（2）设an的公差为d，因为annM，所以an1n1(a11)(a22)(ann) （*）特别的当n1时，a22a11，
5、即d1，由（*）得a1ndn1na1d， 6分整理得n2(a1d)na110，因为上述不等式对一切nN*恒成立，所以必有0，解得d1，又d1，所以d1， 8分于是(a11)na110，即(a11)(n1)0，所以a110，即a11， 10分（3）由an1Sn得Sn1SnSn，所以Sn12Sn，即2，所以2n，从而有Sn1S12na12n， 又an1Sn，所以an2Sn1a12n，即ana12n2(n3)，又a2S1a1222，a1a1212，所以有ana12n2(nN*)，所以2n， 12分假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为dnb(b为常数)，则存在mN，mn，使
6、得dnb2m2n，即da1nba12n2，设f (n)，nN*，n3， 则f (n1)f (n)0，即f (n1)f (n)f (3)1， 14分于是当n3时，2n2n2，从而有：当n3时da1nba1n2，即n2da1nba10，于是当n3时，关于n的不等式n2da1nba10有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列 16分附加题21【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 解：（1）由条件，得. 4分（2）设变换后新曲线上任一点，变换前对应点，则，即 6
7、分，代入得： 所以曲线在的作用下的新曲线的方程为 10分B选修4-4：坐标系与参数方程解：由消去参数得圆的普通方程为，圆心坐标为， 5分过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为， 化为极坐标方程为 10分C选修4-5：不等式选讲解： 5分 8分当且仅当即时取最大值 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.解：如图，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 1分（1）所以，设平面一个法向量为由得，取 4分设直线与平面所成角为，所以所以直线与平面所成角的正弦值为 6分（2）由（1）知平面一个法向量为取平面一个法向量 7分 9分由图知二面角的余弦值为 10分23 解：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（1）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以. 4分（2）设与轴的交点为，则. 由题设可得，所以（舍去），. 6分设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得，而，所以. 9分当与轴垂直时，与重合. 所以，所求轨迹方程为. 10分
