1、2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期中数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1数列an中，如果an=3n（n=1，2，3，），那么这个数列是（）A公差为2的等差数列B公差为3的等差数列C首项为3的等比数列D首项为1的等比数列2ABC中，若a=1，c=2，B=60，则ABC的面积为（）ABC1D3在等比数列an中，a1=，q=，an=，则项数n为（）A3B4C5D64在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+ca）=3bc，那么A等于（）A30B60C120D1505下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内
2、的点是（）A（0，2）B（2，0）C（0，2）D（2，0）6在ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）ABCD7已知数列an的前n项和Sn=，则a4=（）ABC1D8不等式2的解集为（）A1，0）B1，+）C（，1D（，1（0，+）9设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A5B3C7D810如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）AB4C9D1811一个等比数列an的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A63B108C75D8312f（x）=ax2+ax1在R上满足f（x）0恒成立，则a的取值范围是（）Aa0Ba4
3、C4a0D4a0二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡相应横线上.13已知等比数列an中，a1a2a5=32，则a3=14在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=15关于x的不等式ax2+bx+20的解集是x|x，则a+b=16设x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，则ab的最大值为三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）在ABC中，A=120，a=，SABC=，求b，c18（12分）在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）=0，c=（1）求角C的大小；（2）求A
4、BC的面积的最大值19（12分）已知等比数列an中，求其第4项及前5项和20（12分）设an为等差数列，Sn是其前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，（1）求a1和d；（2）求Tn21（12分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？22（12分）数列an的前n项和为Sn，若对于
5、任意的正整数n都有Sn=2an3n（1）设bn=an+3，求证：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1数列an中，如果an=3n（n=1，2，3，），那么这个数列是（）A公差为2的等差数列B公差为3的等差数列C首项为3的等比数列D首项为1的等比数列【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】令n=1，代入已知的通项公式，求出a1的值，当n大于等于2时，表示出an1，进而确定出
6、为定值，故此数列为等比数列，可得出首项为a1的值，从而得到正确的选项【解答】解：an=3n，当n=1时，a1=3，当n2时，an1=3n1，=3，数列an为首项是3，公比是3的等比数列故选C【点评】此题考查了等比数列的通项公式，其中由当n2时，为定值，判断出数列an为首项是3，公比是3的等比数列是解题的关键2ABC中，若a=1，c=2，B=60，则ABC的面积为（）ABC1D【考点】三角形的面积公式【专题】解三角形【分析】利用三角形面积公式SABC=即可得出【解答】解：SABC=故选B【点评】本题考查了三角形面积公式SABC=，属于基础题3在等比数列an中，a1=，q=，an=，则项数n为（）
7、A3B4C5D6【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n【解答】解：an是等比数列=a1qn1=解得：n=5故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及解指数方程，属于基础题，是对基础知识的考查，是送分题4在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+ca）=3bc，那么A等于（）A30B60C120D150【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：由（a+b+c）（b+ca
8、）=3bc，变形得：（b+c）2a2=3bc，整理得：b2+c2a2=bc，由余弦定理得：cosA=，又A为三角形的内角，则A=60故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键5下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A（0，2）B（2，0）C（0，2）D（2，0）【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，2），故选C【点评】代入验证法是确定点
9、是不是在平面内既简单又省时的一种方法6在ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）ABCD【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k0），由余弦定理可求得答案【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得，=故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7已知数列an的前n项和Sn=，则a4=（）ABC1D【考点】数列的函数特性【专题】计算题；函数思想
10、；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据数列通项公式和前n项和公式的关系即可得到结论【解答】解：Sn=，a4=S4S3=，故选：B【点评】本题主要考查数列项的求解，根据项和和之间的关系是解决本题的关键8不等式2的解集为（）A1，0）B1，+）C（，1D（，1（0，+）【考点】其他不等式的解法【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法【解答】解：1x0故选A【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题在解题中，要注意等号9设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A5B3C7D8【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=3x，将
11、l0平移与可行域有公共点，直线y=3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=3x，将l0平移至过点A（3，2）处时，函数z=3x+y有最大值7故选C【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解10如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）AB4C9D18【考点】基本不等式；对数的运算
12、性质【专题】计算题【分析】利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值【解答】解：log3m+log3n=4m0，n0，mn=34=81m+n 答案为18故选D【点评】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值11一个等比数列an的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A63B108C75D83【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案
13、【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为6048=12，第三个n项的和为：=3，前3n项的和为60+3=63故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质12（2010长葛市校级模拟）f（x）=ax2+ax1在R上满足f（x）0恒成立，则a的取值范围是（）Aa0Ba4C4a0D4a0【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；分类讨论【分析】分三种情况讨论：（1）当a等于0时，原不等式变为1小于0，显然成立；（2）当a大于0时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R不可能；
14、（3）当a小于0时，二次函数开口向下，且与x轴没有交点即小于0时，函数值y恒小于0，即解集为R成立，根据小于0列出不等式，求出a的范围，综上，得到满足题意的a的范围【解答】解：（1）当a=0时，得到10，显然不等式的解集为R；（2）当a0时，二次函数y=ax2+ax1开口向下，由不等式的解集为R，得到二次函数与x轴没有交点即=a2+4a0，即a（a+4）0，解得4a0；（3）当a0时，二次函数y=ax2+ax1开口向上，函数值y不恒0，故解集为R不可能综上，a的取值范围为（4，0故选D【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论及函数的思想，是中档题二填空题：本大题共4小题，每小题5分，
15、共20分.请将正确答案填在答题卡相应横线上.13（2016秋西乡塘区校级期中）已知等比数列an中，a1a2a5=32，则a3=2【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式求解【解答】解：等比数列an中，a1a2a5=32，解得a3=2故答案为：2【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用14（2006江苏）在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=【考点】正弦定理【专题】计算题【分析】利用正弦定理和题设中的条件求得AC【解答】解：由正弦定理得，解得故答案为4【点
16、评】本题主要考查解三角形的基本知识已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理15（2015秋榆林校级期末）关于x的不等式ax2+bx+20的解集是x|x，则a+b=14【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a，b的值，即可得出结论【解答】解：不等式ax2+bx+20的解集为x|，和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a0，由韦达定理可得，解得a=12，b=2，a+b=14故答案为：14【点评】本题考查一元二次不等式的解集，注意和二次方程的根的关系是解决问题的关键，属基础题16（2014广州二模
17、）设x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，则ab的最大值为4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值【解答】解：由z=ax+by（a0，b0）得，a0，b0，直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大由，解得，即A（1，4），此时目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，即a+4b=8，8=a+4b=4，即ab4，当且仅当a=4b=4，即a=4，b=1时取等号故答案为：4【
18、点评】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）（2013秋白城期末）在ABC中，A=120，a=，SABC=，求b，c【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由 =，可得bc=4 再由余弦定理可得 21=b2+c2+4，即 b2+c2=17 由解得 b和c的值【解答】解：在ABC中，A=120，a=，SABC=，=，即 bc=4 再由余弦定理可得 a2=21=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=b2+c2+4，b2+c2=17
19、由解得 b=4，c=1； 或者b=1，c=4【点评】本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，属于中档题18（12分）（2015秋南宁校级期末）在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）=0，c=（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】（1）由题意可得sinC=，由锐角三角形可得C=60；（2）由余弦定理和基本不等式可得20=a2+b2ab2abab=ab，再由三角形的面积公式可得【解答】解：（1）由2sin（A+B）=0得sin（A+B）=，即sin（C）=sinC=，ABC是锐角三角形，C=60；（2）由余弦定理
20、得20=a2+b22abcos60，即20=a2+b2ab，20=a2+b2ab2abab=ab（当且仅当a=b时，等号成立）SABC=absin6020=，即SABC的最大值【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题19（12分）（2014秋济南校级期末）已知等比数列an中，求其第4项及前5项和【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】设公比为q，由已知得 ，解得，a1=8，由此利用等比数列的通项公式和前n项和公式能求出其第4项及前5项和【解答】解：设公比为q，（1分）由已知得 （3分）即得 ，（7分）将代入得 a1=8，（8分）
21、，（10分）（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化20（12分）（2016秋西乡塘区校级期中）设an为等差数列，Sn是其前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，（1）求a1和d；（2）求Tn【考点】数列的求和【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）由题意可知：根据等差数列前n项和的性质可知：S7=7a4=7，S15=15a8=75，求得a4=1，a8=5，由d=1，a4=a1+（41）d=1，即可求得a1的值；（2）由（1）可知：Sn=na1+=，则=n，当n=1时，=2
22、，数列是以2为首项，以为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式即可求得Tn【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可知：S7=7a4=7，S15=15a8=75，则a4=1，a8=5，d=1，由a4=a1+（41）d=1，a1=2，a1为2，d=1；（2）由（1）可知：等差数列an前n项和Sn，Sn=na1+=，=n，当n=1时，=2，数列是以2为首项，以为公差的等差数列，Tn=，数列的前n项和Tn=【点评】本题考查等差数列通项公式及前n项和性质，考查等差前n项和公式，考查计算能力，属于中档题21（12分）（2016秋西乡塘区校级期中）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1
23、车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题【分析】先设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可【解答】解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：；再设分别生产甲、乙两种肥料各x、y车皮产生的利润为z=1000
24、0x+5000y=5000（2x+y），由得两直线的交点M（2，2）令t=2x+y，当直线L：y=2x+t经过点M（2，2）时，它在y轴上的截距有最大值为6，此时z=30000分别生产甲、乙两种肥料各为2，2车皮，能够产生最大利润，最大利润是30000t【点评】利用线性规划知识解决的应用题新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键，属于中档题22（12分）（2011市中区校级模拟）数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an3n（1）设bn=an+3，求证：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和【考点】数列
25、递推式；等比关系的确定；数列的求和【专题】计算题；转化思想【分析】（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出an+3即数列bn是等比数列，求出数列bn的通项公式即可求出an的通项公式；（2）写出数列nan的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可【解答】解：（1）Sn=2an3n，对于任意的正整数都成立，Sn+1=2an+13n3，两式相减，得a n+1=2an+12an3，即an+1=2an+3，an+1+3=2（an+3），所以数列bn是以2为公比的等比数列，由已知条件得：S1=2a13，a1=3首项b1=a1+3=6，公比q=2，an=62n13=32n3（2）nan=3n2n3nSn=3（12+222+323+n2n）3（1+2+3+n），2Sn=3（122+223+324+n2n+1）6（1+2+3+n），Sn=3（2+22+23+2nn2n+1）+3（1+2+3+n）=Sn=【点评】本题考查数列递推式，等比关系的确定，数列的求和的方法错位相减法的应用，高考参考题型，考查计算能力
